图矩阵两点间有m的路径矩阵乘法_代数图论I: 基本理论和无向图的同调

本文内容: 1 图的基本概念 2 无向图的同调理论

1 图的基本概念

首先我们来复习一下图的定义：

[图] 图是一个对

, 这里

是一个集合，集合的元素叫做

顶点(vertices), 而

的元素是二元组

，其中

中元素叫做边.为了方便起见，边

通常写为

. 我们说此边连接了

和

. 在这种情况下,

和

是相邻顶点。

[图同构] 在图论中，图

和

是同构的，如果存在顶点集之间的双射

并且使得当且仅当

的任意两个顶点

和

相邻时，才有

和

在

中相邻.

[完全图] 完全图是每两个顶点都相邻的图.

[顶点的度] 顶点

的相邻点点数目称为

的度数, 记为

[子图] 如果图

和

满足

和

，则

叫做

的

子图。此外，如果

，则

称为

生成子图.

[导出子图] 由

的非空子集

导出的子图

是这样的图: 它的顶点集为

, 边集为

的边集

中两个顶点均属于

的边的集合。

[距离] 从顶点

出发到顶点

的最短路径若存在，则此路径的长度称作从

到

的距离。若从

到

根本不存在路径，则记该距离为

[直径]

中任意两点间的最大距离称为

的

直径.

[三角] 3个顶点的完全图称为三角.

[邻接矩阵] 图

的顶点集合为

，那么它的

邻接矩阵为

方阵

，使得当从顶点

到顶点

有边时，其元素

为1，否则为

从定义中可以直接得出：

是实对称矩阵，并且

的迹为零.

两个图

和

具有邻接矩阵

和

. 图

和

同构当且仅当存在置换阵

使得

如果

是图

的邻接矩阵，则矩阵

有一个有趣的解释：元素

给出从顶点

到顶点

的长度

路径的数目.

如果

是使得

的元素

为正的最小非负整数，则

是顶点

与

之间的距离.

为图且具有

条边和

个三角.

为邻接矩阵, 那么

(1)

(2)

(3)

[特征多项式] 图

的顶点集合为

。

的特征值是图不变量。因此，我们可以将

的特征多项式

定义为

为图且具有

条边和

个三角. 特征多项式为

那么

(1)

(2)

(3)

2 无向图的同调理论

令

为主理想整区(PID).

[点空间]

为图.

的

点空间为由

生成的自由

-模, 记为

[线空间]

为图. 由

中所有的有向边生成的自由

-模, 记为

的

线空间

为由

模掉关系：

(对

中所有的有向边

) 后生成的

-模.

需注意

为自由模并且与由

生成的自由模同构.

存在唯一一个模同态

，使得

映射为

[闭链空间]

为图.

的闭链空间为

[图的同调] 对于任何图

，我们可以在主理想整区

上构造一个非常简单的链复形

这个链复形的同调称为图

的同调.

除了

与

外的所有同调都是0.

对于有

个联通分支的图

我们有

为图,

为它的所有连通分支. 那么对于所有的

成立:

[Betti数] 对于任意

, 图

的第

个 Betti 数定义为

除了第

个和第

个外的所有Betti 数都是

[Euler 数] 图

的Euler数为

[对偶模]

是交换环;

为

-模，那么

的对偶模定义为

每个

-模同态

诱导出

[图的上同调] 对于每个图

，都可以定义一个上链复形

定义为

的对偶，即是：

这个上链复形的上同调称为图

的上同调.

如果

连通. 那么

为图,

为它的所有连通分支. 那么对于所有的

成立:

对于任意的

，映射

定义了共变函子

对于任意的

，映射

定义了反变函子

[同调泛系数定理]

为PID而

为平坦

-模的链复形，

为

-模，令

为由

和边缘算子

决定的链复形，那么对于任意的

有短正合序列

并且分裂.

[上同调泛系数定理]

为自由

-模的链复形，

为

-模，令

为由

和边缘算子

决定的上链复形，那么对于任意的

有短正合序列

并且分裂.

令

为环同态，

为图

为图在

上的链复形,

为图在

上的链复形. 那么对于所有的

,成立

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