Chapter2 信息的表示和处理

1.将一个十进制的数字x转换为n进制，可以用n反复除x，得到商q和一个余数r，然后用这个r作为最低位数字，反复这个过程直到商为0，则可以得到n进制的表示，其原理为：

x = a₀n^m + a₁n^m-1 +···+ a_mn⁰

2.每台计算机都有一个字长（word size），指明指针数据的标称大小。因为虚拟地址是以这样的一个字来编码的，所以字长决定的最重要的系统参数就是虚拟地址空间的最大大小。也就是说，对于一个字长为w位的机器，虚拟地址的范围为0~2^w-1

3.小端法：最低有效字节在最前面的方式；大端法：最高有效字节在最前面的方式。如何判断？

#include <stdio.h>typedef unsigned char *byte_pointer;void show_bytes(byte_pointer start, size_t len) {size_t i;for(i = 0; i < len; i++)printf(" %.2x", start[i]);printf("\n");
}

4.左移和右移

(1)左移k位：丢弃最高的k位，并在右端补k个0

(2)右移分为逻辑右移和算数右移：

　　1)逻辑右移k位：左端补k个0，抛弃最低的k位

　　2)算数右移k位：左端补k个最高有效位的值，抛弃最低的k位

5.整数的表示

(1)无符号编码可以定义为一个映射B2U_w：{0, 1}^w → { 0, 1,···, 2^w-1 }

(2)补码编码可以定义为一个映射B2T_w：{0, 1}^w → { -2^w-1,···, 2^w-1-1 }

(3)两种编码方式都具有唯一性（双射）

6.有符号数和无符号数之间的转换

处理同样字长的有符号数和无符号数之间的相互转换的一般规则是：数值可能会改变，但是位模式不变。记U2B_w和T2B_w将数值映射为无符号数和补码形式的位表示，则对于0 ≤ x ≤ 2^w-1范围内的一个整数x，U2B_w会给出x的唯一w位无符号表示，T2B_w同理。

(1)补码转换为无符号数，对于TMin_w ≤ x ≤ TMax_w的x，有

T2U_w(x) = x + 2^w, x < 0; x, x ≥ 0

(2)无符号数转换为补码，对于0 ≤ x ≤ UMax_w的x，有

U2T_w(u) = u, u ≤ TMax_w; u - 2^w, u > TMax_w

(3)当一个运算数是无符号的时候，另一个运算数也被隐式强制转换为无符号

(4)当一个有符号的short型转成unsigned int时，会先改变大小，再完成有符号到无符号的转换

7.扩展一个数字的位表示

(1)有符号数：符号扩展，即按最高有效位的值扩展

(2)无符号数：零扩展，即扩展位均为0

8.截断数字（截断为k位）

(1)有符号数：x' = U2T_k(x mod 2^k)，即x先看做无符号数，取模后再转换为有符号数

(2)无符号数：x' = x mod 2^k

9.整数运算

(1)无符号数加法：对于满足0 ≤ x, y < 2^w的x和y有

x + y = x + y, x + y < 2^w; x + y - 2^w, 2^w ≤ x + y < 2^w+1（算数溢出）

(2)有符号数加法：对于满足-2^w-1 ≤ x, y ≤ 2^w-1-1的x和y有

x + y = x + y - 2^w, x + y ≥ 2^w-1（正溢出）; x + y, -2^w-1 ≤ x + y ≤ 2^w-1-1（正常）; x + y + 2^w, x + y < -2^w-1（负溢出）

总结：整数加法运算溢出时，采用截断策略

(3)补码的非：对于满足-2^w-1 ≤ x ≤ 2^w-1-1的x，其补码的非由下式给出

-x = -2^w-1, x = -2^w-1; -x, x > -2^w-1

实际上，-x与~x+1得到的结果一样

(4)无符号数乘法：对于满足0 ≤ x, y < 2^w的x和y有

x * y = (x * y) mod 2^w

(5)有符号数乘法：对于满足-2^w-1 ≤ x, y ≤ 2^w-1-1的x和y有

x * y = U2T_w((x * y) mod 2^w)

总结：整数乘法运算溢出时，同样采用截断策略

10.乘以常数

大多数机器上，乘法指令相当慢，需要10个或者更多的时钟周期，比移位和加法的代价要大得多，编译器会试图以移位、加法和减法的组合来消除很多整数乘以常数的情况，如将a × 14表示为(a << 3) + (a << 2) + (a << 1)

11.除以2的幂

(1)规则为：向下舍入一个正值，向上舍入一个负值

(2)无符号数就是简单的算数右移操作。而有符号数的除法，对于x ≥ 0，效果与逻辑右移相同；对于x ＜ 0，使用(x + (1 << k) - 1) >> k产生结果，从而得出符合(1)中规则的结果

12.浮点数

(1)IEEE浮点数的表示：V = (-1)^s × M × 2^E，这里s为符号位，决定数是负数（s = 1）还是正数（s = 0）；尾数M表示一个二进制小数，范围为1~2-ε（规格化）或0~1-ε（非规格化）；阶码E的作用是对浮点数加权

(2)32位浮点数包含：1位符号位 + 8位阶码 + 23位尾数；64位浮点数包含：1位符号位 + 11位阶码 + 52位尾数

(3)阶码的值决定了这个数是规格化的（不全为0）或非规格化的（全为0）或特殊值（全为1）

(4)非规格化的浮点数表示0或接近0的数

(4)对于规格化的浮点数，阶码的值是E = e - Bias，这个Bias为一个偏置值2^k-1-1，且总能通过调整E，使得尾数是以1开头的，也就是1.f_n-1f_n-2...f₀，这样做可以省去表示1的那位，可以多表示一位精度

(5)对于非规格化的浮点数，阶码的值是E = 1 - Bias，不用-Bias表示是因为用1-Bias可以和规格化浮点数对接起来，实现平滑的转变；尾数没有隐藏位，因此是从0开始到1-ε