严格对角占优矩阵特征值

前言：以下内容不是严格的数学表述，以自己理解的思路形式叙述。

二次型：

这个名词是来自于线性代数，多用于二次规划和优化组合等问题。

在线性代数里形如以下函数表达式称为二次型：（A是对称矩阵）

这里Q(x)输出的是一个常数。

(输入不同的x时，输出不同的常数，在n+1维空间中展示图形，如果x是二维的向量，可以以三维来表示所有二维向量经过矩阵A变换后的样子）

下图是

中的向量x，对应z的图形展示，变成三维图象：

根据个人理解，只要是方程等式右边理解为变量时，在图形上就要多出一个维度才可以表示。所以，以上表达式可以在n+1维空间中展示。

根据对角化分解，

, 其中，P是特征向量组成的矩阵， D是对角线上为特征值的矩阵。

根据对称矩阵分解定理，当

，时

中的特征向量正交。

定义及应用：

一个二次型Q是：

a, 正定的，如果

, 有

. （存在最小值）

b, 负定的，如果

, 有

. （存在最大值）

c, 不定的，如果

的值，即有正，又有负。

d, 半正定的，如果

, 有

. （最小值为0）

e, 半负定的，如果

, 有

. （最大值为0）

分析和理解二次型：

根据二次型公式，可以理解为矩阵A把向量的空间进行变换，即对主轴进行了变换（有可以是缩放、旋转、翻转等），变换后的向量再映射成一个实数

对称矩阵的特点，可以分解成

, 其中D是对角矩阵，对角线上的是特征值：

有N个特征值和特征向量

这种矩阵对应的是旋转和拉伸，没有压缩，所以可以分析对那一个特征向量进行了拉伸。

根据矩阵点积的意义，如果 A =

可以把公式分解成：

该公式正是

, 模长的平方，是一个二次多项式。

为什么？因为该公式的代数表达式就是一个多元二次方程。

注意这里的表达式中，分析的目标是矩阵A，一定要注意。

任意维度的空间都可以有二次型。

任意对称矩阵都可以有二次型形式.

二次型分解的几种情况：

一，当二次型中的矩阵A是对称矩阵，但对角线不是特征值时，需要进行变量代换，如把A分解成

。

设:

这时二次型

对于

时, 最大值和最小值是特征值的最大值和最小值。

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