20211115 任意n阶方阵均与三角矩阵（上三角或者下三角）相似

设 A\boldsymbol{A}A 为 nnn 阶矩阵, 它的特征多项式为
φ(λ)=det⁡(λI−A)=(λ−λ1)(λ−λ2)⋯(λ−λn)\varphi(\lambda)=\operatorname{det}(\lambda \boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})=\left(\lambda-\lambda_{1}\right)\left(\lambda-\lambda_{2}\right) \cdots\left(\lambda-\lambda_{n}\right) φ(λ)=det(λI−A)=(λ−λ1)(λ−λ2)⋯(λ−λn)
对矩阵的阶数 nnn 用归纳法来证明之.
当 n=1n=1n=1 时, 定理显然成立. 假定对 n−1n-1n−1 阶矩阵定理成立, 为了证明定理对 nnn 阶矩阵也成立, 设 x1,x2,⋯,xn\boldsymbol{x}_{1}, \boldsymbol{x}_{2}, \cdots, \boldsymbol{x}_{n}x1,x2,⋯,xn 是 nnn 个线性无关的列向量(不一定全是特征向量),其中 x1\boldsymbol{x}_{1}x1 是属于 A\boldsymbol{A}A 的特征值 λ1\lambda_{1}λ1 的特征向量,即 Ax1=λ1x1\boldsymbol{A x}_{1}=\lambda_{1} \boldsymbol{x}_{1}Ax1=λ1x1. 记
P1=(x1,x2,⋯,xn)\boldsymbol{P}_{1}=\left(\boldsymbol{x}_{1}, \boldsymbol{x}_{2}, \cdots, \boldsymbol{x}_{n}\right) P1=(x1,x2,⋯,xn)
于是
AP1=(Ax1,Ax2,⋯,Axn)=(λ1x1,Ax2,⋯,Axn)\boldsymbol{A P}_{1}=\left(\boldsymbol{A x}_{1}, \boldsymbol{A x}_{2}, \cdots, \boldsymbol{A x}_{n}\right)=\left(\lambda_{1} \boldsymbol{x}_{1}, \boldsymbol{A x}_{2}, \cdots, \boldsymbol{A x}_{n}\right) AP1=(Ax1,Ax2,⋯,Axn)=(λ1x1,Ax2,⋯,Axn)
由于 Axi∈Cn\boldsymbol{A x}_{i} \in \mathbf{C}^{n}Axi∈Cn, 所以 Axi\boldsymbol{A x}_{i}Axi 可由 Cn\mathbf{C}^{n}Cn 的基 x1,x2,⋯,xn\boldsymbol{x}_{1}, \boldsymbol{x}_{2}, \cdots, \boldsymbol{x}_{n}x1,x2,⋯,xn 唯一地线性表示, 即有
Axi=b1ix1+b2ix2+⋯+bnixn(i=2,3,⋯,n)\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}_{i}=b_{1 i} \boldsymbol{x}_{1}+b_{2 i} \boldsymbol{x}_{2}+\cdots+b_{n i} \boldsymbol{x}_{n} \quad(i=2,3, \cdots, n) Axi=b1ix1+b2ix2+⋯+bnixn(i=2,3,⋯,n)
于是
AP1=(λ1x1,Ax2,⋯,Axn)=P1[λ1b12⋯b1n0b22⋯b2n⋮⋮⋮0bn2⋯bnn]\begin{aligned} \boldsymbol{A P}_{1}=\left(\lambda_{1} \boldsymbol{x}_{1}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}_{2}, \cdots, \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}_{n}\right)=\boldsymbol{P}_{1}\left[\begin{array}{cccc} \lambda_{1} & b_{12} & \cdots & b_{1 n} \\ 0 & b_{22} & \cdots & b_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & b_{n 2} & \cdots & b_{n n} \end{array}\right] \end{aligned} AP1=(λ1x1,Ax2,⋯,Axn)=P1⎣⎢⎢⎢⎡λ10⋮0b12b22⋮bn2⋯⋯⋯b1nb2n⋮bnn⎦⎥⎥⎥⎤
即
P1−1AP1=[λ1b12⋯b1n0⋮A10]\boldsymbol{P}_{1}^{-1} \boldsymbol{A P}_{1}=\left[\begin{array}{cccc} \lambda_{1} & b_{12} & \cdots & b_{1 n} \\ 0 & & & \\ \vdots & & \boldsymbol{A}_{1} & \\ 0 & & & \end{array}\right] P1−1AP1=⎣⎢⎢⎢⎡λ10⋮0b12⋯A1b1n⎦⎥⎥⎥⎤
根据定理 1.141.141.14, 可设 n−1n-1n−1 阶矩阵 A1\boldsymbol{A}_{1}A1 的特征多项式为 φ1(λ)=det⁡(λI−A1)=(λ−λ2)(λ−λ3)⋯(λ−λn)\varphi_{1}(\lambda)=\operatorname{det}\left(\lambda \boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}_{1}\right)=\left(\lambda-\lambda_{2}\right)\left(\lambda-\lambda_{3}\right) \cdots\left(\lambda-\lambda_{n}\right)φ1(λ)=det(λI−A1)=(λ−λ2)(λ−λ3)⋯(λ−λn) 再由归纳法假定,有
Q−1A1Q=[λ2∗⋱λn]\boldsymbol{Q}^{-1} \boldsymbol{A}_{1} \boldsymbol{Q}=\left[\begin{array}{lll} \lambda_{2} & & * \\ & \ddots & \\ & & \lambda_{n} \end{array}\right] Q−1A1Q=⎣⎡λ2⋱∗λn⎦⎤
记
P2=[10T0Q],P=P1P2\boldsymbol{P}_{2}=\left[\begin{array}{cc} 1 & \mathbf{0}^{\mathrm{T}} \\ \mathbf{0} & \boldsymbol{Q} \end{array}\right], \quad \boldsymbol{P}=\boldsymbol{P}_{1} \boldsymbol{P}_{2} P2=[100TQ],P=P1P2
则有
P−1AP=(P1P2)−1A(P1P2)=P2−1(P1−1AP1)P2=\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\left(\boldsymbol{P}_{1} \boldsymbol{P}_{2}\right)^{-1} \boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{P}_{1} \boldsymbol{P}_{2}\right)=\boldsymbol{P}_{2}^{-1}\left(\boldsymbol{P}_{1}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}_{1}\right) \boldsymbol{P}_{2}= P−1AP=(P1P2)−1A(P1P2)=P2−1(P1−1AP1)P2=
P2−1[λ1b12⋯b1n⋯⋮A10]P2=[λ1∗⋯∗λ2⋱⋮⋱∗λn]\boldsymbol{P}_{2}^{-1}\left[\begin{array}{cccc}\lambda_{1} & b_{12} & \cdots & b_{1 n} \\ \cdots & & & \\ \vdots & & \boldsymbol{A}_{1} & \\ 0 & & & \end{array}\right] \boldsymbol{P}_{2}=\left[\begin{array}{cccc}\lambda_{1} & * & \cdots & * \\ & \lambda_{2} & \ddots & \vdots \\ & & \ddots & * \\ & & & \lambda_{n}\end{array}\right]P2−1⎣⎢⎢⎢⎡λ1⋯⋮0b12⋯A1b1n⎦⎥⎥⎥⎤P2=⎣⎢⎢⎢⎡λ1∗λ2⋯⋱⋱∗⋮∗λn⎦⎥⎥⎥⎤

同理，可以得出任意n阶方阵均与三角矩阵（下三角）相似。

如果对于A\boldsymbol{A}A ，设 x1,x2,⋯,xn\boldsymbol{x}_{1}, \boldsymbol{x}_{2}, \cdots, \boldsymbol{x}_{n}x1,x2,⋯,xn 是 nnn 个线性无关的列向量(不一定全是特征向量),其中 xn\boldsymbol{x}_{n}xn 是属于 A\boldsymbol{A}A 的特征值 λn\lambda_{n}λn 的特征向量,即 Axn=λnxn\boldsymbol{A x}_{n}=\lambda_{n} \boldsymbol{x}_{n}Axn=λnxn

参考文献：矩阵论，程云鹏

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