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相同前后缀
- O(n)构造最长前后缀数组
- - 代码
- 在kmp中的用处、kmp原理
- - 暴力
  - 优化A_ind
  - 优化B_ind
kmp模板

相同前后缀

kmp的本质，就是相同前后缀

所谓 相同前后缀：a b c d e f g h前缀prefix：  [a, b, ...] 后缀suffix：  [..., g, h]比如最长相同前后缀的长度为3即表示： [a, b, c] == [f, g, h]

且规定：最长相同前后缀的长度 != n，否则无意义
因为，对于任意一个串s：长度为n的前缀s == 长度为n的后缀s

所以，我们这里讨论的一个串的“最长前后缀长度”，其实严格说是“次长”，即必须长度 < n

一个长度为n的串，他最长前后缀长度所有可能是: [0, n-1]

长度为偶数6的串	最长前后缀长度	长度为奇数5的串	最长前后缀长度
aaaaaa	5(aaaaa)	aaaaa	4(aaaa)
ababab	4(abab)	ababa	3(aba)
abcabc	3(abc)	abcde	0()

如果s中，没有与s[1]相同的字符，那么s的最长前后缀肯定为0，因为前后缀要匹配，至少第一个字符要相同

O(n)构造最长前后缀数组

已知s串[1,2,3,..n]的前后缀长度为k，求[1,2,3,..,n,n+1]串的前后缀长度 '简称len为 最长前后缀长度 's： 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., n
s[1,n]的前缀： [1  2  3  ...  k-2  k-1  k]
s[1,n]的后缀： [.  .  .  ...  n-2  n-1  n]   ' 这俩是 对应上下位相同的 '当此时新来了一个 [n+1]元素时，找s[1, n+1]的最长前后缀，即：
s[1, n+1]的前缀pre： [1  2  3  ...  j-1   j ]
s[1, n+1]的后缀suf： [.  .  .  ...   n   n+1]目的是：  使pre==suf，且长度最长
由于，前缀pre的头[1] 和 后缀的尾[n+1] 是固定死的， 这是前后缀的要求
即，因为suf[n+1]是固定死的，让suf最长，即让[...n]（suf去除[n+1]后的部分）最长' 即找最长的： pre[1 2 3 ... j-1] 和 suf[... n-1 n] '可以发现，他的答案，就是 s[1,n]的len但需要有个前提：  pre[j] == suf[n+1]  ' j就是 s[1,n]的len '即if( s[ (s[1,n]的len) + 1 ] == s[ n+1 ] )s[1,n+1]的len = s[1,n]的len  +  1' 即，新加入1个元素[n+1]， 整个串的len  最大是 原来串的len+1 '关键是当else的情况，由于，s[j] != s[n+1]，而后缀suf的[n+1]是固定死的只能让j往左走，假设j往左走到了i（是答案）
s[1,n+1]的前缀pre： [1  2  3  ...  i-1  i ]
s[1,n+1]的后缀suf： [.  .  .  ...   n  n+1]他需要满足2点：1， pre[1 2 3 .. i-1] == suf[. . . . n]2， pre[i] == suf[n+1]其中第1点，就是s[1, n]的相同前后缀问题（但不是最长，但他要尽量的长）for( sub : s[1,n]的相同前后缀 ){sub从长到短，sub表示s[1,..,i]和s[...,n]是相同前后缀if( s[i + 1] == s[n + 1] ){s[1, n+1]的len = i;break; }}这就是伪代码。即问题变为：  如何遍历s[1,n]串的 len （且从大到小）先看最大的len： 等于i：
s[1,n]的前缀pre1： [1  2  3  ...  i-1  i ]
s[1,n]的后缀suf1： [.  .  .  ...  n-1  n ]如何从最大的len， 得到 次大的len呢？？？
令次大的len为： j（j < i）
s[1,n]的前缀pre2： [1  2 ... j-1  j]
s[1,n]的后缀suf2： [.  . ... n-1  n]suf2是suf1的后缀，因为suf1==pre1，所以，' suf2 是 pre1的后缀！！'即，pre2==suf2，就变成了： pre1的前缀 == pre1的后缀即，找pre1的 len  （i == pre1的len）int i = s[1,n]的len;
while(i != 1){i = s[1, i]的len;
}
代码很短，但这是 非常非常重要的！！ 一定要理解。

代码

void build_len(const string& s, int *len){ // s下标从0开始len[0] = 0;int n = s.size();FOR(i, 1, n-1, 1){int pre_len = len[i - 1];while(true){if(pre_len == 0){ if(s[i] == s[0]){ len[i] = 1; }else{ len[i] = 0; }break; }if(s[i] == s[pre_len]){ len[i] = pre_len + 1;break; }pre_len = len[pre_len - 1];}}
}

在kmp中的用处、kmp原理

最长前后缀，最大的用处，基于以下的这个性质：

长度为n=12的s串： a , b , c , d , a , b , c , d , a , b , c , d 长度前后缀长度为8(abcdabcd)
我们将这个s串，向后移动，“找第一个交叉区域相同的位置”


最初s串	a	b	c	d	a	b	c	d	a	b	c	d
向后移动1		a	b	c	d	a	b	c	d	a	b	c	d				交叉区域长度为11，不相同
向后移动2			a	b	c	d	a	b	c	d	a	b	c	d			交叉区域长度为10，不相同
向后移动3				a	b	c	d	a	b	c	d	a	b	c	d		交叉区域长度为9，不相同
向后移动4(成功)					a	b	c	d	a	b	c	d	a	b	c	d	交叉区域长度为8，相同

我们发现，当向后移动4后，交叉区域为n-4 = 8，此时完全相同了！！
即：最少后移X步，使得交互区域相同。公式为： X = n - 最长前后缀长度
这当然很容易证明，很容易看出，这就是 “相同前后缀” 的定义

关键是，这个性质如何应用到 kmp里，这是重点！！！

暴力

首先，回顾最暴力的kmp思路：
A串长度n，B串长度m(m < n)

FOR(A_ind, 0, n-1, 1){bool succ = true;FOR(B_ind, 0, m-1, 1){if(A[A_ind + B_ind] != B[B_ind]){ succ = false; break; }}if(succ){ PD(i); SP; }
}4  5  6  7  8  9  10  11
A： .  .  .  .  a  b  a  b  a  b   a   c   d   e  .  .  .
B：             a  b  a  b  a  c   d   e   （B串长度是8）0  1  2  3  4  5   6   7此时A_ind=4， 当前匹配失败后(A[9]!=B[5])，你不可以 直接让A_ind跳到10去因为，A_ind=6时， A[6...] 与 B[0...] 是匹配成功的所以，暴力的算法，你的A_ind 只能1个1个的往后走，即B_ind每走一步，A串从头开始 与B进行匹配

优化A_ind

从上面可以看出，其实我们的A_ind 当前是4，其实可以直接跳到6去

因为上一次是在A[9] != B[5]，说明： A[4,…] = B[0,1,2,3,4]
当A[4,5,…] = B[0,1,2,3,4]时，此时你让B[0]和A[5]匹配也是错的。

你回顾之前的那个性质，令新的字符串str = A[4,5,…] = B[0,1,2,3,4]
str最少往后移动：（str.size() - str的len）步，才可以匹配

所以，此时直接让： A_ind += (5 - B的len[4] = 2)，即A_ind = 6

即让： A[6, …] 与 B[0,…]匹配，这样就优化了

int A_ind = 0;   ' AB串都是从0开始的 '
while(A_ind <= n-m ){int B_ind = 0;while(B_ind < m){if(A[A_ind + B_ind] == B[B_ind]){ ++ B_ind; }else{ break; }}if(B_ind == m){ PD(A_ind); ED;}if(B_ind == 0){A_ind ++;   }else{int move = B_ind - len[B_ind - 1];A_ind += move;}'在B[B_ind]匹配失败了，说明： B前B_ind个元素[0,...B_ind] 和 A[A_ind,..] 匹配成功了'
' len[B_ind-1]是：B的前B_ind个元素的 len。 '
注意，千万不要写成： move = (m - len[B_ind - 1])！！！
我们是把， 已经匹配成功的B[0,1,...,B_ind-1]，当成了一个新的串！！！ 和B没有关系}

优化B_ind

上面的代码，还是超时的。
回顾上面的思路：

此时： A_ind=4 （B_ind=[0,1,2,..] 到5时，出问题）4  5  6  7  8   9    10  11
A： .  .  .  .  a  b  a  b  a  [b]   a   c   d   e  .  .  .
B：             a  b  a  b  a  [c]   d   e   （B串长度是8）0  1  2  3  4   5    6   7之前的优化完：4  5  6  7  8   9   10  11
A： .  .  .  .  a  b  a  b  a  [b]   a   c   d   e  .  .  .
B：                     a  b  a  [b]   a   c   d   e0  1  2   3    4   5

优化后，A_ind虽然是跳到了6，但是B_ind重新从0开始
但是，其实A[6,7,8] 和 B[0,1,2] 是已经匹配了的，因为我们让A_ind移动的目的就是这个效果
之前是A_ind=4，在A[9]失败，说明A[4,5,6,7,8]是成功的
这个串A[4,5,6,7,8] 他的前缀==后缀，前缀是从[4]开始的，后缀是从[k]开始
我们的A_ind，下一次就是要移动到[k]位置

当A_ind移动到[k]位置，串A[4,5,6,7,8]的后缀，即[k, k+1, …8] 他就自动是和 B[0,1,2,3…] 是匹配的！！

令l 为 A[4,5,6,7,8]的len
则，在你将A_ind移动完后（将A_ind += (5 - len)）
此时： A[A_ind, …, A_lnd+l-1] 自动= B[0,1,…, l-1]
所以，你的B_ind 直接设置为： [l]即可。
从B[l]开始，和A[A_ind+l]，开始匹配

即，此时的B_ind 不再是，每次从0开始。
他变成了一个全局量

int A_ind = 0, B_ind = 0;
while(A_ind <= n - m){while(B_ind < m){if(A[A_ind + B_ind] == B[B_ind]){ ++ B_ind; }else{ break; }}if(B_ind == m){ PD(A_ind); SP;}
// A[A_ind,...] 与 B[0,1,2,3..., B_ind-1] 是完全匹配的if(B_ind == 0){A_ind ++;   }else{int _len = len[B_ind - 1]; ' B[0,1,2...,B_ind-1]的len 'A_ind += (B_ind - _len); B_ind = _len; ' 等价于： B_ind -= (B_ind - _len) '' 将A_ind += (xx)后， 此时A[A_ind,..]与B[0,1,..,_len-1]是已经匹配了的。 可以直接让B_ind从[_len]开始 '}
}

kmp模板

A串长度为n，B串长度为m（n >= m）均从0开始

void build_len(const string& s, int *len){len[0] = 0;int n = s.size();FOR(i, 1, n-1, 1){int pre_len = len[i - 1];while(true){if(pre_len == 0){ if(s[i] == s[0]){ len[i] = 1; }else{ len[i] = 0; }break; }if(s[i] == s[pre_len]){ len[i] = pre_len + 1;break; }pre_len = len[pre_len - 1];}}
}build_len(B, len);int A_ind = 0, B_ind = 0;
while(A_ind <= n - m){while(B_ind < m){if(A[A_ind + B_ind] == B[B_ind]){ ++ B_ind; }else{ break; }}if(B_ind == m){ PD(A_ind); SP;}if(B_ind == 0){A_ind ++;   }else{int _len = len[B_ind - 1];A_ind += (B_ind - _len); B_ind = _len;}
}

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