利用概率理论预测和决策

老样子，书还是用一个情境帮助我们学习概率：假如你在一个赌场，你有一些筹码，“轮盘赌”正在进行，对此你也非常的感兴趣。

轮盘赌简介

庄家转动一个轮盘，随后朝相反方向掷出一个小球，赌者将赌注押在他所料定的停球位置。

肥蛋赌场所用轮盘有38个停球位置，主球位编号1-36，颜色或黑或红；另有两个球位编号0和00，均为绿色。轮盘赌样子如下：

轮盘赌的下注方式五花八门。例如，可以读一个特定数字（奇偶均可），可以赌球位颜色，开局后还会有人宣布各种其他赌法。再就是记住：如果停在绿色球位，你就输了。

使用轮盘板可以方便地查看数字与颜色组合：

概率与事件

概率是量度某事发生几率的一种数量指标。你可以用概率衡量发生某件事的可能性或者不会发生某事的可能性。

事件，统计学用它表示有概率可言的任何事情，换句话说，事件就是人们能指出其发生可能性的任何事情。

概率的量度尺度是0-1，0表示不可能发生，1表示必然发生。下面是用概率比例尺示意的几个例子：

事件：有概率可言的一个结果或一件事

书上的例子可以帮助理解，轮盘板共有38个球位，数字7有1个球位，那么“停球结果为7”的概率为1/38=0.026，其概率非常的小，我们最好不要这么猜。

由上可知，我们的计算公式为：

概率=押中赌注的可能数目所有可能结果的数目概率 = \frac{押中赌注的可能数目}{所有可能结果的数目}概率=所有可能结果的数目押中赌注的可能数目

更通用的方法来表述概率，对于事件A的概率：

P(A)=n(A)n(S)P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}P(A)=n(S)n(A)

S被称为概率空间，或称样本空间，是表示所有可能结果的一种简便表示法。可能发生的时间都是S的子集。

举个例子，投掷一个硬币，S为“硬币为正面+硬币为反面”，事件A我们可以规定为“硬币为正面”，那么P(A)=11+1=12P(A) = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}P(A)=1+11=21

维恩图

维恩图可以帮助我们用图形的方式表示概率。其方法是这样的：画一个方框表示样本空间S，然后画几个圆圈代表各个相关事件。

在维恩图上，可以标明数字，或者实际概率，或者不标，取决于你自己。

对立事件

对立事件A’：表示 “A不发生”事件。由于A’包含事件A所不包含的所有可能性，因此A和A’肯定包含每一种可能发生的事件。也就是上面图片中，A为圆圈，A’为圆圈外长方形内的图形。

例如，轮盘赌停在数字7是事件A，那么对立事件A’表示轮盘赌不停在数字7。它们的概率之和肯定为1。
P(A)+P(A′)=1P(A′)=1−P(A)P(A) + P(A') = 1 \\ P(A') = 1 - P(A) P(A)+P(A′)=1P(A′)=1−P(A)

问：有没有什么东西能同时存在于事件A和事件A’中？

答：没有。A’的意思是不存在A中的各种事物。如果某个要素存在于A中，则这个要素不可能存在于A’中。这两个事件是相斥的，因此两者不会共用任何要素。

互斥事件的相加

如果我们要赌球停在红色或黑色位置上，我们这样计算（这里表示把事件A看成黑或红的数目）：
P(黑或红)=3638=0.947P(黑或红) = \frac{36}{38} = 0.947 P(黑或红)=3836=0.947
还可以这样计算（这里表示两个事件的相加）：
P(黑或红)=P(黑)+P(红)=1838+1838=0.947P(黑或红) = P(黑) + P(红) = \frac{18}{38} + \frac{18}{38} = 0.947 P(黑或红)=P(黑)+P(红)=3818+3818=0.947
我们也可以这样计算（这里表示取其对立事件 - 绿’）：
P(黑或红)=P(绿′)=1−P(绿)=1−0.053=0.947P(黑或红) = P(绿') \\ = 1 - P(绿) \\ = 1 - 0.053 \\ = 0.947 P(黑或红)=P(绿′)=1−P(绿)=1−0.053=0.947
因为黑和红，两者是互斥事件，可以用上面的三种方法计算。

互斥事件与相交事件

互斥事件：如果两个事件是互斥事件，则只有其中一个事件会发生。

例子：小球停在黑色球位和小球停在红色球位只有一件事能发生，不能同时发生。

相交事件：如果两个事件相交，则这两个事件有可能同时发生。

例子：小球停住黑色球位和小球停在偶数球位，它们有可能同时发生（当然啦也可能不同时发生，比如停在黑色奇数球位上）。

交集与并集

如果要计算“停球结果为黑色或偶数”的结果，我们不能像上面“黑色或红色”一样直接相加，这样会导致将“黑色兼偶数”球位算了两次。

如果P(黑或偶)=P(黑)+P(偶)P(黑或偶) = P(黑) + P(偶)P(黑或偶)=P(黑)+P(偶)，这样会导致中间的黑色部分被加了两次。

所以我们需要这样计算：

P(黑或偶)=P(黑)+P(偶)−P(黑兼偶)=18/38+18/38−10/38=26/38=0.684P(黑或偶) = P(黑) + P(偶) - P(黑兼偶) = 18/38 + 18/38 - 10/38 = 26/38 = 0.684P(黑或偶)=P(黑)+P(偶)−P(黑兼偶)=18/38+18/38−10/38=26/38=0.684

并集与交集

在统计学中，可以有更简便的数学符号，上面的“或”是“并集”（∪\cup∪）的表示，上面的“兼”是“交集”（∩\cap∩）的表示。

A∩BA \cap BA∩B表示“A与B的交集”，这里符号可以被理解为“与”，它求出不同事件的共同要素。

A∪BA \cup BA∪B表示“A与B的并集”，这个符号可以被理解为“或”，它包含数据A及B的所有要素。

如果P(A∪BA \cup BA∪B)=1，则我们说A与B穷举。它们一起形成整个S，它们穷举所有可能性。

因此，上面的式子也可以写成：

P(黑∪偶)=P(黑)+P(偶)−P(黑∩偶)P(黑 \cup 偶) = P(黑) + P(偶) - P(黑 \cap 偶)P(黑∪偶)=P(黑)+P(偶)−P(黑∩偶)

A或B公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)

互斥与穷举

如果事件A与事件B为互斥事件，则P(A∩B)=0P(A \cap B) = 0P(A∩B)=0，随后P(A∪B)=P(A)+P(B)−0P(A \cup B) = P(A) + P(B) - 0P(A∪B)=P(A)+P(B)−0
如果事件A与事件B为穷举事件，则P(A∪B)=1P(A \cup B) = 1P(A∪B)=1

这里有一道例题，大家可以思考一下再看答案：

小知识：A和A’是互斥的，也是穷举的

P(A)=P(A∩B)+P(A∩B′)P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap B')P(A)=P(A∩B)+P(A∩B′)

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