[GXOI/GZOI2019]逼死强迫症题解

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题意：用n−1n-1n−1块大小为1×21\times21×2的砖和两块大小为1×11\times11×1的砖铺满2×n2\times n2×n的路，要求两块小砖不能有边相邻，求方案数。

这题简直是弟中弟。

首先设fif_ifi表示用1×21\times21×2的砖铺满2×n2\times n2×n的路的方案数，显然fif_ifi是斐波那契数列。

并注意到斐波那契数列的一个重要性质：∑j=0ifj=fi+2−1\sum\limits_{j=0}^if_j=f_{i+2}-1j=0∑ifj=fi+2−1，这个证明用数学归纳法即可。

设gig_igi表示n=in=in=i时的答案，考虑gig_igi的递推式。

如果第iii列竖着放一个2×12\times12×1的砖块，剩下的方案数是gi−1g_{i-1}gi−1；如果第iii和i−1i-1i−1列横着放两个1×21\times21×2的砖块，剩下的方案数是gi−2g_{i-2}gi−2。

如果第iii列放了一个1×11\times11×1的小块，那么另一个小块只能在111到i−2i-2i−2列中挑一列jjj，如果jjj与iii奇偶性相同那么它们必须在不同行，否则必须在相同行；并且当这两个小块的位置定下来之后这两列中间的部分有且仅有一种摆放方案（自己画图或脑补易知）。因此方案数是2∑j=0i−3fj=2fi−1−22\sum\limits_{j=0}^{i-3}f_j=2f_{i-1}-22j=0∑i−3fj=2fi−1−2

综上gi=gi−1+gi−2+2fi−1−2g_i=g_{i-1}+g_{i-2}+2f_{i-1}-2gi=gi−1+gi−2+2fi−1−2，其中fi=fi−1+fi−2f_i=f_{i-1}+f_{i-2}fi=fi−1+fi−2，矩阵快速幂即可解决。

太水了，代码不贴了。

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