[GXOI/GZOI2019]逼死强迫症

一、题目

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二、解法

设f[i]f[i]f[i]为大小为2×i2\times i2×i的矩阵填充的方案数，首先考虑不放特殊格子（1×11\times 11×1），那么可以从f[i−1]f[i-1]f[i−1]和f[i−2]f[i-2]f[i−2]转移而来。考虑放特殊格子的情况，无论是放上面还是放下面，前面的格子的放法总是唯一的（和间隔的奇偶性有关），而且一定是要空两格的，设g[i]g[i]g[i]为大小为2×i2\times i2×i的矩阵只用2×12\times 12×1的小矩阵填充的方案数，那么f[i]f[i]f[i]还可以从2∑j=1i−3g[j]2\sum_{j=1}^{i-3} g[j]2∑j=1i−3g[j]转移过来，综上我们可以写出转移方程：
f[i]=f[i−1]+f[i−2]+2(g[j−1]−1)f[i]=f[i-1]+f[i-2]+2(g[j-1]-1)f[i]=f[i−1]+f[i−2]+2(g[j−1]−1)这里对转移方程进行了简写，首先从dpdpdp的角度可得ggg是一个斐波那契数列，要证明一个结论：∑i=1ng[i]=g[n+2]−1\sum_{i=1}^n g[i]=g[n+2]-1∑i=1ng[i]=g[n+2]−1，可以用归纳法，当n=1n=1n=1时成立，假设n=kn=kn=k时成立，那么∑i=1kg[i]+g[k+1]=g[k+2]−1+g[k+1]\sum_{i=1}^k g[i]+g[k+1]=g[k+2]-1+g[k+1]∑i=1kg[i]+g[k+1]=g[k+2]−1+g[k+1]，即∑i=1k+1g[i]=g[k+3]−1\sum_{i=1}^{k+1}g[i]=g[k+3]-1∑i=1k+1g[i]=g[k+3]−1，故n=k+1n=k+1n=k+1时也成立，证毕。

显然上面的dpdpdp可以用矩阵加速，如果不会构造矩阵的童鞋可以看下面的图：

时间复杂度O(125×Tlog⁡n)O(125\times T\log n)O(125×Tlogn)，贴个代码qwqqwqqwq。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define int long long
const int MOD = 1e9+7;
int read()
{int x=0,flag=1;char c;while((c=getchar())<'0' || c>'9') if(c=='-') flag=-1;while(c>='0' && c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();return x*flag;
}
int T,n;
struct Matrix
{int n,m,a[8][8];Matrix() {n=m=0;memset(a,0,sizeof a);}Matrix operator * (const Matrix &b) const{Matrix r;r.n=n;r.m=b.m;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++)for(int k=1;k<=b.m;k++){r.a[i][k]=(r.a[i][k]+a[i][j]*b.a[j][k])%MOD;r.a[i][k]=(r.a[i][k]+MOD)%MOD;}return r;}
}A,F;
Matrix qkpow(Matrix a,int b)
{Matrix r;r.n=r.m=a.n;for(int i=1;i<=r.n;i++)r.a[i][i]=1;while(b>0){if(b&1) r=r*a;a=a*a;b>>=1;}return r;
}
signed main()
{T=read();while(T--){n=read();if(n<=2){puts("0");continue;}A.n=A.m=F.n=5;F.m=1;A.a[1][1]=A.a[1][2]=A.a[2][1]=A.a[3][3]=A.a[3][4]=A.a[4][3]=A.a[5][5]=1;A.a[1][3]=2;A.a[1][5]=-2;F.a[3][1]=2;F.a[4][1]=F.a[5][1]=1;printf("%lld\n",(qkpow(A,n-2)*F).a[1][1]);}
}