连续与离散变量的函数分布计算

@(概率论)

在二维函数分布的计算中，有一类是比较特别的，即两个变量类型分别是连续和离散的。那么对此函数的概率分布计算就需要适当展开，引入全概率计算方法。

比如这样一道题：
设随机变量X和Y相互独立，且X~N(0,1),Y~B(n,p)(0

FZ(z)=P(X+Y≤z)=∑i=0nP(Y=i)P(X+Y≤z|Y=i)=(ni)ni=0pi(1−p)n−iP(X+Y≤z|Y=i)=(ni)ni=0pi(1−p)n−iP(X≤z−i)=(ni)ni=0pi(1−p)n−i∫z−i−∞fX(x)

F_Z(z) = P(X+Y\leq z) = \sum_{i = 0}^nP(Y = i) P(X+Y\leq z | Y = i) \\ = {n\choose i}_{i=0}^n p^i(1-p)^{n-i} P(X+Y\leq z | Y = i) \\ = {n\choose i}_{i=0}^n p^i(1-p)^{n-i} P(X \leq z -i ) \\ = {n\choose i}_{i=0}^n p^i(1-p)^{n-i}\int_{-\infty}^{z-i}f_X(x)

因为fX(x)f_X(x)是连续函数，则积分一定也是连续函数，n+1个连续函数之和还是连续函数，因此结果局势X+Y的分布函数是连续函数。

通过这个小题揭示的是对于连续与离散变量之和如何通过拆分的方式求解。思路具有借鉴引申的意义。

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