B-样条基函数：计算实例

B-spline Basis Functions: Computation Examples

下面详细讨论两个实例，一个是简单节点（knot）的，另一个是多重节点的。

简单节点（Simple Knots ）

假设节点向量是U = { 0, 0.25, 0.5, 0.75, 1 }. 因此, m = 4 和u₀ = 0, u₁ = 0.25, u₂ = 0.5, u₃ = 0.75 及 u₄ = 1。0次（degree）基函数很简单。它们分别是定义在节点跨度 [0,0.25,), [0.25,0.5), [0.5,0.75) 和 [0.75,1)上的N_0,0(u), N_1,0(u), N_2,0(u)和N_3,0(u) ,如下图所示。

下表给出了所有的N_i_,1(u)：

*Basis Function*	*Range*	*Equation*
N_0,1(u)	[0, 0.25)	4u
N_0,1(u)	[0.25, 0.5)	2(1 - 2u)
N_1,1(u)	[0.25, 0.5)	4u - 1
N_1,1(u)	[0.5, 0.75)	3 - u
N_2,1(u)	[0.5, 0.75)	2(2u - 1)
N_2,1(u)	[0.75, 1)	4(1 - u)

接着展示这些基函数的图形。因为内节点0.25, 0.5和0.75都是简单的(即， k = 1) 且p = 1，有p - k + 1 = 1非零基函数和三个节点。而且， N_0,1(u), N_1,1(u) 和 N_2,1(u)在节点0.25, 0.5 和 0.75分别是C⁰ 连续的。

从N_i_,1(u)可计算2次基函数。因此m = 4, p = 2, 和 m = n + p + 1，我们有n = 1所以只有两个2次基函数：N_0,2(u)和 N_1,2(u). 结果见下表：

*Basis Function*	*Range*	*Equation*
N_0,2(u)	[0, 0.25)	8u²
	[0.25, 0.5)	-1.5 + 12u - 16 u²
	[0.5, 0.75)	4.5 - 12u + 8 u²
N_1,2(u)	[0.25, 0.5)	0.5 - 4u + 8u²
	[0.5, 0.75)	-1.5 + 8u - 8u²
	[0.75, 1)	8(1 - u)²

下图显示了两个基函数。三条垂直蓝线表示节点位置。注意每个基函数是三个2次曲线段的组合曲线。例如， N_0,2(u) 是绿色曲线，其是定义在[0,0.25), [0.25, 0.5) 和 [0.5,0.75)上的三个抛物线的联合。这些曲线段连接在一起形成一个光滑的钟形。请验证 N_0,2(u,) (resp., N_1,2(u)) 在节点 0.25 和 0.5 (resp., 0.5 和 0.75)是 C¹ 连续的。如前页所提到的，在节点处，这个复合曲线是C¹ 连续的。

带正重复度的节点

如果一个节点向量包含有正重复度的节点，我们会遇到 0/0的情况，后面会遇到。因此我们定义 0/0 等于0。幸运的是，这只用于手工计算的情况。对计算机实现，有个有效的算法，不受这个问题影响。如果u_i 是重复度 k 的节点(即u_i = u_i₊₁ = ... = u_i+k_-1), 那么节点区间[u_i,u_i₊₁), [u_i₊₁,u_i₊₂), ..., [u_i+k_-2,u_i+k_-1) 不存在，结果是，N_i_,0(u), N_i_+1,0(u), ..., N_i+k_-1,0(u) 都是零函数。

考虑节点向量 U = { 0, 0, 0, 0.3, 0.5, 0.5, 0.6, 1, 1, 1 }. 因此，0 和1 是重复度3 (即， 0(3)和 1(3)) 而 0.5 是重复度2 (即， 0.5(2)). 结果是， m = 9而节点分配是

u₀	u₁	u₂	u₃	u₄	u₅	u₆	u₇	u₈	u₉
0	0	0	0.3	0.5	0.5	0.6	1	1	1

现在计算 N_i_,0(u)。注意因为 m = 9 且 p = 0 ( 0 次基函数), 我们有n = m - p - 1 = 8。如下表所示，只有四个0次非零基函数： N_2,0(u), N_3,0(u), N_5,0(u) 和 N_6,0(u).

*基函数*	范围	方程	备注
N_0,0(u)	所有 u	0	因为 [u₀, u₁) = [0,0) 不存在
N_1,0(u)	所有 u	0	因为 [u₁, u₂) = [0,0) 不存在
N_2,0(u)	[0, 0.3)	1
N_3,0(u)	[0.3, 0.5)	1
N_4,0(u)	所有 u	0	因为 [u₄, u₅) = [0.5,0.5) 不存在
N_5,0(u)	[0.5, 0.6)	1
N_6,0(u)	[0.6, 1)	1
N_7,0(u)	所有 u	0	因为 [u₇, u₈) = [1,1) 不存在
N_8,0(u)	所有 u	0	因为 [u₈, u₉) = [1,1) 不存在

然后，我们继续计算1次基函数。因为 p 为 1, n = m - p - 1 = 7. 下表显示了结果：

基函数	范围	方程
N_0,1(u)	所有 u	0
N_1,1(u)	[0, 0.3)	1 - (10/3)u
N_2,1(u)	[0, 0.3)	(10/3)u
N_2,1(u)	[0.3, 0.5)	2.5(1 - 2u)
N_3,1(u)	[0.3, 0.5)	5u - 1.5
N_4,1(u)	[0.5, 0.6)	6 - 10u
N_5,1(u)	[0.5, 0.6)	10u - 5
N_5,1(u)	[0.6, 1)	2.5(1 - u)
N_6,1(u)	[0.6, 1)	2.5u - 1.5
N_7,1(u)	所有 u	0

下图显示了这些基函数的图形。

让我们看一个特别的计算，比如N_1,1(u). 。它使用下式计算的：

将u₁ = u₂ = 0 和 u₃ = 0.3 代入这个方程产生下式：

因为 N_1,0(u) 到处为零，第一项是0/0 因此被定义为零。因而，只有第二项对结果有影响。因为 N_2,0(u) 在 [0,0.3)上是1， N_1,1(u) 在 [0,0.3)上是1 - (10/3)u 。

接着，让我们计算所有的N_i_,2(u)。因为 p = 2, 我们有 n = m - p - 1 = 6。下表包含了所有的N_i_,2(u):

基函数	范围	方程
N_0,2(u)	[0, 0.3)	(1 - (10/3)u)²
N_1,2(u)	[0, 0.3)	(20/3)(u - (8/3)u²)
N_1,2(u)	[0.3, 0.5)	2.5(1 - 2u)²
N_2,2(u)	[0, 0.3)	(20/3)u²
N_2,2(u)	[0.3, 0.5)	-3.75 + 25u - 35u²
N_3,2(u)	[0.3, 0.5)	(5u - 1.5)²
N_3,2(u)	[0.5, 0.6)	(6 - 10u)²
N_4,2(u)	[0.5, 0.6)	20(-2 + 7u - 6u²)
N_4,2(u)	[0.6, 1)	5(1 - u)²
N_5,2(u)	[0.5, 0.6)	12.5(2u - 1)²
N_5,2(u)	[0.6, 1)	2.5(-4 + 11.5u - 7.5u²)
N_6,2(u)	[0.6, 1)	2.5(9 - 30u + 25u²)

下图显示了所有2次基函数。

让我们选一个典型的计算作为例子，如N_3,2(u)。计算式是下式：

代入 u₃ = 0.3, u₄ = u₅ = 0.5 和 u₆ = 0.6得到

因为 N_3,1(u) 在 [0.3, 0.5)上非零且等于5u - 1.5，(5u - 1.5)² 是N_3,2(u) 在[0.3, 0.5)上的非零部分。因为N_4,1(u) 在 [0.5, 0.6)上非零且等于6 - 10u, (6 - 10u)² 是 N_3,2(u) 在[0.5, 0.6)上的非零部分。

让我们研究在节点0.5(2)处的连续问题。因为它的重复度是2 且这些基函数的次数是 2, 基函数 N_3,2(u) 在0.5(2)处是C⁰ 连续的。这就是为什么N_3,2(u) 在0.5(2)处有个尖锐的角。对不在两个端点处的节点，例如 0.3,保持了 C¹ 连续性因为它们都是简单节点。

译注：

- 本文翻译是“B-样条曲线（B-spline Curves）教程”中的一部分，其余翻译部分见“B-样条曲线（B-spline Curves）教程目录”。
- “B-样条曲线（B-spline Curves）教程”是翻译自C.-K. Shene博士的CS3621 Introduction to Computing with Geometry Notes的第6部分“B-spline Curves”。
- 本文原文地址：B-spline Basis Functions: Computation Examples 。
- 本文首发“博士数学家园 ”