数学与编程——概率论与数理统计

D(x)=E{[x−E(x)]2}D(x)=E\{[x-E(x)]^2\}：相对于平均数差距的平方的期望；
数理统计一词的理解：mathematical stats，也即用数学的观点审视统计，为什么没有数理概率，因为概率本身即为数学，而对于统计，random variable 的性质并不全然了解，所以数理统计在一些书里又被称作：stats in inference（统计推论，已知 ⇒ 未知）
- 概率与统计的中心问题，都是random variable，

PMF与PDF

PMF：probability mass function，概率质量函数，是离散型随机变量在各特定取值上的概率。与概率密度函数（PDF：probability density function）的不同之处在于：概率质量函数是对离散型随机变量定义的，本身代表该值的概率；概率密度函数是针对连续型随机变量定义的，本身不是概率（连续型随机变量单点测度为0），只有在对连续随机变量的pdf在某一给定的区间内进行积分才是概率。

notation

假设XX是一个定义在可数样本空间SS上的离散型随机变量S⊆RS\subseteq R，则其概率质量函数PMF为：

fX(x)={Pr(X=x),0,x∈Sx∈R∖S

\begin{equation} f_X(x)= \left \{\begin{array}{ll}Pr(X=x), & x\in S \\0, & x\in \mathbb R\setminus S\end{array} \right. \end{equation}

注意这在所有实数上，包括那些XX不可能等于的实数值上，都定义了pmf，只不过在这些XX不可能取的实数值上，fX(x)f_X(x)取值为0(x∈R∖S,Pr(X=x)=0x\in \mathbb R\setminus S, Pr(X=x)=0)。

离散型随机变量概率质量函数（pmf）的不连续性决定了其累积分布函数（cdf）也不连续。

共轭先验（conjugate prior）

所谓共轭（conjugate），描述刻画的是两者之间的关系，单独的事物不构成共轭，举个通俗的例子，兄弟这一概念，只能是两者才能构成兄弟。所以，我们讲这两个人是兄弟关系，A是B的兄弟，这两个分布成共轭分布关系，A是B的共轭分布。

p(θ|X)=p(θ)p(X|θ)p(x)

p(\theta|X)=\frac{p(\theta)p(X|\theta)}{p(x)}

p(X|θ)p(X|\theta)：似然（likelihood）
p(θ)p(\theta)：先验（prior）
p(X)p(X)：归一化常数（normalizing constant）

我们定义：如果先验分布（p(θ)p(\theta)）和似然函数（p(X|θ)p(X|\theta)）可以使得先验分布（p(θ)p(\theta)）和后验分布（p(θ|X)p(\theta|X)）有相同的形式（如，Beta(a+k, b+n-k)=Beta(a, b)*binom(n, k)），那么就称先验分布与似然函数是共轭的（成Beta分布与二项分布是共轭的）。

几个常见的先验分布与其共轭分布

先验分布	共轭分布
伯努利分布	beta distribution\textrm{beta distribution}
Multinomial\textrm{Multinomial}	Dirichlet Distribution\textrm{Dirichlet Distribution}
Gaussian, Given variance, mean unknown\textrm{Gaussian, Given variance, mean unknown}	Gaussian Distribution\textrm{Gaussian Distribution}
Gaussian, Given mean, variance unknown\textrm{Gaussian, Given mean, variance unknown}	Gamma Distribution\textrm{Gamma Distribution}
Gaussian, both mean and variance unknown\textrm{Gaussian, both mean and variance unknown}	Gaussian-Gamma Distribution\textrm{Gaussian-Gamma Distribution}

最大似然估计（MLE）

首先来看，大名鼎鼎的贝叶斯公式：

p(θ|X)=p(θ)p(X|θ)p(X)

p(\theta|X)=\frac{p(\theta)p(X|\theta)}{p(X)}

可将θ\theta看成欲估计的分布的参数，XX表示样本，p(X|θ)p(X|\theta)则表示似然。

现给定样本集\mathcal{D}=\{x_1,x_2,\ldots,x_N\}D={x1,x2,…,xN}\mathcal{D}=\{x_1,x_2,\ldots,x_N\}，似然函数为：
p(\mathcal{D}|\theta)=\prod_{n=1}^Np(x_n|\theta)

p(D|θ)=∏n=1Np(xn|θ)

p(\mathcal{D}|\theta)=\prod_{n=1}^Np(x_n|\theta)
为便于计算，再将其转换为对数似然函数形式：
\ln p(\mathcal{D}|\theta)=\sum_{n=1}^N\ln p(x_n|\theta)

lnp(D|θ)=∑n=1Nlnp(xn|θ)

\ln p(\mathcal{D}|\theta)=\sum_{n=1}^N\ln p(x_n|\theta)

我们不妨以伯努利分布为例，利用最大似然估计的方式计算其分布的参数（ppp），伯努利分布其概率密度函数（pdf）为：
f_X(x)=p^x(1-p)^{1-x}=\left \{ \begin{array}{ll} p,&\mathrm{x=1},\\ q\equiv1-p ,&\mathrm{x=0},\\ 0,&\mathrm{otherwise} \end{array} \right.

fX(x)=px(1−p)1−x=⎧⎩⎨⎪⎪p,q≡1−p,0,x=1,x=0,otherwise

f_X(x)=p^x(1-p)^{1-x}=\left \{ \begin{array}{ll} p,&\mathrm{x=1},\\ q\equiv1-p ,&\mathrm{x=0},\\ 0,&\mathrm{otherwise} \end{array} \right.

整个样本集的对数似然函数为：
\ln p(\mathcal{D}|\theta)=\sum_{n=1}^N\ln p(x_n|\theta)=\sum_{n=1}^N\ln (\theta^{x_n}(1-\theta)^{1-x_n})=\sum_{n=1}^Nx_n\ln\theta+(1-x_n)\ln(1-\theta)

lnp(D|θ)=∑n=1Nlnp(xn|θ)=∑n=1Nln(θxn(1−θ)1−xn)=∑n=1Nxnlnθ+(1−xn)ln(1−θ)

\ln p(\mathcal{D}|\theta)=\sum_{n=1}^N\ln p(x_n|\theta)=\sum_{n=1}^N\ln (\theta^{x_n}(1-\theta)^{1-x_n})=\sum_{n=1}^Nx_n\ln\theta+(1-x_n)\ln(1-\theta)

等式两边对\thetaθ\theta求导：
\frac{\partial \ln(\mathcal{D}|\theta)}{\partial \theta}=\frac{\sum_{n=1}^Nx_n}{\theta}-\frac{N}{1-\theta}+\frac{\sum_{n=1}^Nx_n}{1-\theta}

∂ln(D|θ)∂θ=∑Nn=1xnθ−N1−θ+∑Nn=1xn1−θ

\frac{\partial \ln(\mathcal{D}|\theta)}{\partial \theta}=\frac{\sum_{n=1}^Nx_n}{\theta}-\frac{N}{1-\theta}+\frac{\sum_{n=1}^Nx_n}{1-\theta}

令其为0，得：

θml=∑Nn=1xnN

\theta_{ml}=\frac{\sum_{n=1}^Nx_n}{N}

Beta分布

f(μ|a,b)=Γ(a+b)Γ(a)Γ(b)μa−1(1−μ)b−1=1B(a,b)μa−1(1−μ)b−1

f(\mu|a, b)=\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\mu^{a-1}(1-\mu)^{b-1}=\frac1{B(a,b)}\mu^{a-1}(1-\mu)^{b-1}

BetaBeta分布的峰值在a−1b+a−2\frac{a-1}{b+a-2}处取得。其中Γ(x)≡∫∞0ux−1e−udu\Gamma(x)\equiv\int_0^\infty u^{x-1}e^{-u}du有如下性质：

Γ(x+1)=xΓ(x)Γ(1)=1andΓ(n+1)=n!

\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)\\ \Gamma(1)=1\quad and \quad \Gamma(n+1)=n!
我们来看当先验分布为 BetaBeta分布时的后验分布：

p(θ)=1B(a,b)θa−1(1−θ)b−1p(X|θ)=(nk)θk(1−θ)n−kp(θ|X)=1B(a+k,b+n−k)θa+k−1(1−θ)b+n−k−1

p(\theta)=\frac1{B(a,b)}\theta^{a-1}(1-\theta)^{b-1}\\ p(X|\theta)=\binom n k \theta^k(1-\theta)^{n-k}\\ p(\theta|X)=\frac1{B(a+k,b+n-k)}\theta^{a+k-1}(1-\theta)^{b+n-k-1}

对应于python中的math.gamma()及matlab中的gamma()函数（matlab中beta(a, b)=gamma(a)gamma(b)/gamma(a+b)）。

条件概率（conditional probability）

P(X|Y)

P(X|Y)
读作： PP of XX given YY，下划线读作given
XX：所关心事件
YY：条件（观察到的，已发生的事件），conditional

条件概率的计算

仍然从样本空间（sample space）的角度出发。此时我们需要定义新的样本空间（给定条件之下的样本空间）。所以，所谓条件（conditional），本质是对样本空间的进一步收缩，或者叫求其子空间。

比如一个人答题，有A,B,C,DA,B,C,D四个选项，在答题者对题目一无所知的情况下，他答对的概率自然就是 14\frac14，而是如果具备一定的知识，排除了 A,CA,C两个错误选项，此时他答对的概率简单计算就增加到了 12\frac12。

本质是样本空间从S={A,B,C,D}S=\{A, B, C, D\}，变为了S′={B,D}S'=\{B, D\}。
新样本空间下P(A|排除A/C)=0,P(C|排除A/C)=0P(A|排除A/C)=0,P(C|排除A/C)=0，归纳出来，也即某实验结果（outcome，oio_i）与某条件YY不相交，则：

P(oi|Y)=0

P(o_i|Y)=0

最后我们得到条件概率的计算公式：

P(oi|Y)=P(oi)P(o1)+P(o2)+⋯+P(on)=P(oi)P(Y)Y={o1,o2,…,on}

P(o_i|Y)=\frac{P(o_i)}{P(o_1)+P(o_2)+\cdots+P(o_n)}=\frac{P(o_i)}{P(Y)}\\ Y=\{o_1,o_2,\ldots,o_n\}

考虑某事件X={o1,o2,q1,q2}X=\{o_1, o_2, q_1, q_2\}，已知条件Y={o1,o2,o3}Y=\{o_1,o_2,o_3\}发生了，则：

P(X|Y)=P(o1|Y)+P(o2|Y)+0+0=P(o1)P(Y)+P(o2)P(Y)=P(X∩Y)P(Y)

P(X|Y)=P(o_1|Y)+P(o_2|Y)+0+0=\frac {P(o_1)}{P(Y)}+\frac {P(o_2)}{P(Y)}=\frac{P(X\cap Y)}{P(Y)}

条件概率与贝叶斯公式

条件概率：

P(X|Y)=P(X∩Y)P(Y)

P(X|Y)=\frac{P(X\cap Y)}{P(Y)}

贝叶斯公式：

P(X|Y)=P(X)P(Y|X)P(Y)

P(X|Y)=\frac{P(X)P(Y|X)}{P(Y)}

其实是可从条件概率推导贝叶斯公式的：

P(A|B)=P(B|A)=P(A|B)P(B)===P(B|A)=P(A∩B)P(B)P(A∩B)P(A)P(A∩B)P(B)P(B)P(A∩B)P(A)P(B|A)P(A|B)P(B)P(A)

\begin{split} P(A|B)=&\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\\ P(B|A)=&\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\\ P(A|B)P(B)=&\frac{P(A\cap B)}{P(B)}P(B)\\ =&P(A\cap B)\\ =&P(A)P(B|A)\\ P(B|A)=&\frac{P(A|B)P(B)}{P(A)} \end{split}

证明：P(B,p|D)=P(B|p,D)P(p|D)P(B,p|D)=P(B|p,D)P(p|D)

\begin{split} P(B,p|D)=&\frac{P(B, p, D)}{P(D)}\\ =&\frac{P(B|p, D)P(p, D)}{P(D)}\\ =&P(B|p,D)\frac{P(p,D)}{P(D)}\\ =&P(B|p,D)P(p|D) \end{split}

References

[1] 概率质量函数