宝鸡市提供的答案

一、选择题：

$\fbox{第2题}$(复数的模的计算)
设$i$是虚数单位，$\bar{z}$是复数$z$的共轭复数，若$(1+i)\cdot \bar{z}=2$，则$|z|=$【】 A、$1\;\;\;\;\;$ B、$\sqrt{2}\;\;\;\;\;$ C、$2\;\;\;\;\;$ D、$2\sqrt{2}\;\;\;\;\;$
法1：设$z=a+bi(a，b \in R)$，则$\bar{z}=a-bi$，代入已知得到$(1+i)(a-bi)=1$
整理得到，$(a+b)+(a-b)i=2$
则有$a+b=2$，$a-b=0$，故$a=b=1$，
即$z=1+i$，则$|z|=\sqrt{2}$，选B；
法2：利用复数的模的性质，由已知可得，$|(1+i)\cdot \bar{z}|=|2|$，
即$|(1+i)||\bar{z}|=2$，即$\sqrt{2}|\bar{z}|=2$，则$|\bar{z}|=\sqrt{2}$，
又$|\bar{z}|=|z|=2$，故选B。
解后反思：
1、 如果能利用复数的模的简单性质，运算量能稍微小一点。
2、复数及其运算
$\fbox{第3题}$(判断函数的奇偶性或对称性)
函数$f(x)=\cfrac{4^x+1}{2^x}$的图像【】
A、关于原点对称$\;\;\;\;\;$ B、关于$x$轴对称$\;\;\;\;\;$ C、关于$y$轴对称$\;\;\;\;\;$ D、关于直线$y=x$轴对称$\;\;\;\;\;$
分析：注意到$f(x)=\cfrac{4^x+1}{2^x}=\cfrac{(2^x)^2+1}{2^x}=2^x+\cfrac{1}{2^x}=2^x+2^{-x}$，
则$f(-x)=2^{-x}+2^{-(-x)}=2^x+2^{-x}=f(x)$，故函数$f(x)$为偶函数，故选B。
解后反思：
1、积累常见函数的奇偶性很重要，比如$f(x)=e^x+e^{-x}$为偶函数，$f(x)=e^{|x|}$为偶函数，$f(x)=e^x-e^{-x}$为奇函数，等等。
2、函数的奇偶性
$\fbox{第7题}$(程序框图+解对数不等式组)
执行如图所示的程序框图，若输出$i$的值是5，则输入的$t$的取值范围是【】 A、$(-\infty，27)\;\;\;\;\;$ B、$(3，27)\;\;\;\;\;$ C、$[3，27)\;\;\;\;\;$ D、$[27，54)\;\;\;\;\;$
分析：第一次循环，当$i=1$时，不能退出循环，由于是将$log_3t$赋值给了$t$，故下一步判断应为$log_3t\ge 0$，而不是$t\ge 0$，此时$i=3$
第二次循环，当$i=3$时，也不能退出循环，同上，应有$log_3(log_3t)\ge 0$，此时$i=5$
第三次循环，当$i=5$时，应该退出循环，同上，应有$log_3[log_3(log_3t)]< 0$，此时输出$i=5$
故要求得$t$的范围，必须满足如下的不等式组，
$\begin{cases}log_3t\ge 0\\log_3(log_3t)\ge 0\\log_3[log_3(log_3t)]< 0\end{cases}$
求解$log_3t\ge 0=log_31$得到$t\ge 1①$；
求解$log_3(log_3t)\ge 0=log_31$得到$t\ge 3②$；
求解$log_3[log_3(log_3t)]< 0=log_31$得到$3 < t <27③$；
求交集得到$3 < t < 27$，故选B。
解后反思： 1、 熟练掌握对数不等式组的解法。每解决一个对数不等式，都需要从单调性和定义域两个角度来限制， 比如求解不等式$log_3[log_3(log_3t)]< 0$， 从定义域的角度来限制，必须满足每一个真数都大于零， 即$\begin{cases}t>0\\log_3t>0\\log_3(log_3t)>0\end{cases}$ 即$\begin{cases}t>0\\log_3t>0=log_31\\log_3(log_3t)>log_31\end{cases}$ 即$\begin{cases}t>0\\t>1\\log_3t>1\end{cases}$ 即$\begin{cases}t>0\\t>1\\t>3\end{cases}$ 故从定义域的角度得到$t>3$ 从单调性的角度来限制，需要先将常数对数化，目的是为了利用单调性，将真数位置的整体降到一般位置， 即先变形为$log_3[log_3(log_3t)]< log_31$，则由单调性得到$log_3(log_3t)]<1$， 即$log_3(log_3t)]<1=log_33$， 即$log_3t<3=log_327$， 即从单调性角度得到，$t<27$ 综上，不等式$log_3[log_3(log_3t)]< 0$的解集为$3 < t < 27$。 2、程序框图习题
$\fbox{第12题}$(特殊方法求解析式)
已知函数$f(x)$在定义域$(0，+\infty)$上是单调函数，若对于任意$x\in(0，+\infty)$都有$f(f(x)-\cfrac{1}{x})=2$，则函数$f(x)$的解析式为【】
A、$f(x)=x\;\;\;\;\;$ B、$f(x)=\cfrac{1}{x}\;\;\;\;\;$ C、$f(x)=x+1\;\;\;\;\;$ D、$f(x)=\cfrac{1}{x}\;\;\;\;\;$
分析：令自变量位置的整体$f(x)-\cfrac{1}{x}=t$，则$f(x)=t+\cfrac{1}{x}$，且有$f(t)=2$；
又令$f(x)=t+\cfrac{1}{x}$中的$x=t$，得到$f(t)=t+\cfrac{1}{t}$，结合$f(t)=2$，
得到$t+\cfrac{1}{t}=2$，又定义域是$(0，+\infty)$，解得$t=1$，
故代入$f(x)=t+\cfrac{1}{x}$得到解析式为$f(x)=\cfrac{1}{x}+1$。
解后反思：
1、本题目考查了复合函数，整体思想，赋值法等数学知识，综合程度比较高。
2、求函数的解析式中的特殊方法

二、填空题：

$\fbox{第13题}$(由线性回归方程求某个缺省值)
某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次实验，根据收集到的数据(如表格所示)，由最小二乘法球的回归方程$\hat{y}=0.67x+54.9$，现发现表中有一个数据看不清，请你推断该数据的值为___________ 分析：由于数据中心点$(\bar{x}，\bar{y})$必然在回归直线上，故先求得$\bar{x}=30$，
代入回归直线方程得到，$\bar{y}=0.67\times 30+54.9=75$，
在计算数据是采用简单的算法，取参考值为75，设缺省值为$m$
则有$75=75+\cfrac{-13+(m-75)+0+6+14}{5}$，解得$m=68$。
解后反思：
1、 数据中心点$(\bar{x}，\bar{y})$必然在回归直线上，
2、注意算法的简洁性，省时省力。
$\fbox{第16题}$(求数列的通项公式或求数列的某一项的值)
设数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$a_1=1$，$a_{n+1}=2S_n+3$，则$S_4=$___________ 法1：先求得通项，再求值，$S_{n+1}-S_n=2S_n+3$， 即$S_{n+1}=3S_n+3$，两边同加$\cfrac{3}{2}$，得到 $S_{n+1}+\cfrac{3}{2}=3S_n+3+\cfrac{3}{2}$，即$S_{n+1}+\cfrac{3}{2}=3S_n+\cfrac{9}{2}$， $S_{n+1}+\cfrac{3}{2}=3(S_n+\cfrac{3}{2})$，又$S_1+\cfrac{3}{2}=\cfrac{5}{2}\neq 0$， 故数列$\{S_n+\cfrac{3}{2}\}$是首项为$\cfrac{5}{2}$，公比为$3$的等比数列， 则$S_4+\cfrac{3}{2}=\cfrac{5}{2}\cdot 3^{4-1}$， 从而计算得到$S_4=66$，很麻烦。 如果题目是求解$S_{400}$，那么法1就起了大作用，法2就失效了。 法2：由于所求为$S_4$，下标很小，所以我们常常利用$a_{n+1}=2S_n+3$递推计算， $a_1=1$，代入$a_{n+1}=2S_n+3$，则$a_2=2a_1+3=5$， 则$a_3=2(a_1+a_2)+3=15$，$a_4=2(a_1+a_2+a_3)+3=45$， 故$S_4=a_1+a_2+a_3+a_4=1+5+15+45=66$。

三、解答题：

$\fbox{第17题}$(三角函数和解三角形)
已知向量$\vec{a}=(2sinx，\sqrt{3}cosx)$，$\vec{b}=(-sinx，2sinx)$，函数$f(x)=\vec{a}\cdot\vec{b}$， (1)求$f(x)$的单调递增区间； (2)在$\Delta ABC$中，$a、b、c$分别是角$A、B、C$的对边且$f(C)=1$，$c=1$，$ab=2\sqrt{3}$，$a>b$，求$a、b$的值。 分析：(1)$f(x)=\vec{a}\cdot\vec{b}=2sinx\cdot (-sinx)+\sqrt{3}cosx\cdot 2sinx$， $=\sqrt{3}sin2x+cos2x-1=2sin(2x+\cfrac{\pi}{6})-1$； 令$-\cfrac{\pi}{2}+2k\pi \leq 2x+\cfrac{\pi}{6}\leq \cfrac{\pi}{2}+2k\pi$ 得到$-\cfrac{\pi}{3}+k\pi \leq x\leq \cfrac{\pi}{6}+k\pi$ 故$f(x)$的单调递增区间为$[-\cfrac{\pi}{3}+k\pi，\cfrac{\pi}{6}+k\pi](k\in Z)$ (2)由$f(C)=1$，即$2sin(2C+\cfrac{\pi}{6})-1=1$，即$sin(2C+\cfrac{\pi}{6})=1$， 则有$2C+\cfrac{\pi}{6}=\cfrac{\pi}{2}$，故$C=\cfrac{\pi}{6}$； 又$c=1$，$ab=2\sqrt{3}$，由余弦定理得到 $c^2=1=a^2+b^2-2abcos\cfrac{\pi}{6}$， 即$a^2+b^2=7$，联立$ab=2\sqrt{3}$， 解得$a=2，b=\sqrt{3}$或$a=2，b=\sqrt{3}$， 由于$a>b$，故$a=2，b=\sqrt{3}$。 $\fbox{第19题}$(概率与统计)
某中学高三文科班学生参加了数学与英语水平测试，学校从测试合格的学生中随机抽取了100人的成绩进行统计分析，抽取的100人的数学与英语水平测试的成绩如表，成绩分为优秀、良好、及格三个等级，横向、纵向分别表示英语成绩与数学成绩，例如：表格中数学成绩为良好的共有$20+18+4=42$人。 (1)若该样本中，数学成绩的优秀率为$30%$，求$a、b$的值。 (2)若样本中$a\ge 10$，$b\ge 8$，求在英语成绩及格的学生中，数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率。 分析(1)由题可知，$\cfrac{7+9+a}{100}=30%$，解得$a=14$，故$b=100-(7+20+5+9+18+6+a+4)=17$； (2)首先明确，第二问与第一问已经没有关系了。 “在英语成绩及格的学生中”，指的是$a+b+4=35$人，即$a+b=31$人， "数学成绩优秀的人数"指的是$a$，"数学成绩及格的人数"指的是$b$， 即需要满足$a < b$，同时需满足$a\ge 10$，$b\ge 8$，以及$a，b\in N^*$， 故由$a、b$组成的所有情况用坐标形式$(a，b)$表达，则共有 $(10，21)$，$(11，20)$，$(12，19)$，$(13，18)$， $(14，17)$，$(15，16)$，$(16，15)$，$(17，14)$，$(18，13)$，$(19，12)$， $(20，11)$，$(21，10)$，$(22，9)$，$(23，8)$共有$14$种情形，其中满足$a < b$的有 $(10，21)$，$(11，20)$，$(12，19)$，$(13，18)$，$(14，17)$，$(15，16)$， 设“数学成绩优秀的人数比及格的人数少”为事件$B$，则$P(B)=\cfrac{6}{14}=\cfrac{3}{7}$。 $\fbox{第21题}$(函数与导数)
已知函数$f(x)=\cfrac{x^2+ax+1}{x}(x>0，a\in R)$。 (1)当$a\leq -2$时，讨论函数$f(x)$的零点个数。 (2)若函数$g(x)=e^x-lnx+2x^2+1$，对任意$x\in(0，+\infty)$，总有$xf(x)\leq g(x)$成立，求实数$a$的最大值。 分析：(1)法1：$f(x)=x+\cfrac{1}{x}+a$，由于求函数的零点的个数， 故令$f(x)=0$，即$-a=x+\cfrac{1}{x}$， 或者令$f(x)=0$，即$x^2+ax+1=0$，即$-ax=x^2+1$ 分离参数得到，$-a=x+\cfrac{1}{x}$， 至此，做函数$y=x+\cfrac{1}{x}$和函数$y=-a$的图像， 由图像可以看出，当$a=-2$时，两个函数的图像有一个交点，即原函数有一个零点； 当$a (2)由题目可知，$x^2+ax+1\leq e^x-lnx+2x^2+1$对任意$x>0$恒成立， 变形得到$ax\leq e^x-lnx+x^2$， 分离参数得到$a\leq \cfrac{e^x-lnx+x^2}{x}$对任意$x>0$恒成立， 故令$h(x)=\cfrac{e^x-lnx+x^2}{x}$，需要求出$h(x)_{min}$， $h'(x)=\cfrac{(e^x-\cfrac{1}{x}+2x)\cdot x-(e^x-lnx-x^2)\cdot 1}{x^2}$ $=\cfrac{e^x(x-1)+lnx-1+x^2}{x^2}$ 令$m(x)=e^x(x-1)+lnx-1+x^2$， $m'(x)=e^x(x-1)+e^x+\cfrac{1}{x}+2x=e^x+\cfrac{1}{x}+2x$， 则$x>0$时，$m'(x)>0$恒成立，故$m(x)$单调递增， 但是我们不能求解$m(0)$或者$m(+\infty)$，故此思路失效，此时尝试观察法， 当$x=1$时，$h'(x)=0$， 【纯粹的数学素养，当出现$lnx$时用$x=1$尝试，常常我们就能得到需要的分界点】 当$0< x <1$时，$h'(x) <0$， 当$x >1$时，$h'(x) >0$， 故$h(x)$在$(0，1)$上单调递减，在$(1，+\infty)$上单调递增， 故$h(x)_{min}=h(1)=e+1$， 故$a\leq e+1$。 解后反思： 1、第二问求二阶导的目的是为了求一阶导数的正负，往往通过给定区间的端点值来求解， 如果端点值不能用，则求二阶导数就失去了其价值，需要从新考虑思路。 $\fbox{第22题}$(坐标系与参数方程)
已知圆锥曲线$C：\begin{cases}x=2cos\alpha\\y=\sqrt{3}cos\alpha\end{cases}(\alpha为参数)$和定点$A(0，\sqrt{3})$，$F_1，F_2$是此圆锥曲线的左右焦点，以原点为极点，以$x$轴正半轴为极轴建立极坐标系。 (1)求直线$AF_2$的直角坐标方程； (2)经过点$F_1$且与直线$AF_2$垂直的直线$l$交此圆锥曲线于$M，N$两点，求$||MF_1|-|NF_1||$的值。 分析：(1)消参数得到曲线$C$的直角坐标方程为$\cfrac{x^2}{4}+\cfrac{y^2}{3}=1$； 由于$A(0，\sqrt{3})$，$F_2( 1，0)$，故直线方程为$\sqrt{3}x+y-\sqrt{3}=0$。 此时直线的斜率为$k_0=-\sqrt{3}$； (2)由上可知，直线$l$的斜率为$k_1=\cfrac{\sqrt{3}}{3}$，即倾斜角为$\alpha=\cfrac{\pi}{6}$， 又点$F_1(-1，0)$，故直线$l$的参数方程为$\begin{cases}x=x_0+cos\alpha\cdot t\\y=y_0+sin\alpha \cdot t \end{cases}(t为参数)$ 即$\begin{cases}x=-1+\cfrac{\sqrt{3}}{2} t\\y=0+\cfrac{1}{2} t \end{cases}(t为参数)$ 将其代入曲线$C$的直角坐标方程$\cfrac{x^2}{4}+\cfrac{y^2}{3}=1$； 整理为$13t^2-12\sqrt{3}t-36=0$， 容易证明$\Delta >0$，令$M，N$分别对应的参数为$t_1，t_2$， 则有$t_1+t_2=\cfrac{12\sqrt{3}}{13}>0$，$t_1t_2=-\cfrac{36}{13}<0$； 则$t_1，t_2$异号，$t_1>0，t_2<0$或$t_1<0，t_2>0$ 则$|MF_1|-|NF_1|=-t_1-t_2$，或者 $|MF_1|-|NF_1|=t_1+t_2$ 则$||MF_1|-|NF_1||=|t_1+t_2|=\cfrac{12\sqrt{3}}{13}$。 解后反思： 1、有学生注意到$\cfrac{y-0}{x+1}=\cfrac{\sqrt{3}}{3}$，引入参数$m$， 得到直线$l$的参数方程为$\begin{cases}x=-1+3m\\y=0+\sqrt{3}m \end{cases}(m为参数)$ 这个也是直线$l$的参数方程，不过不是直线的参数方程的标准形式，也就是说$m$和$t$的含义不一样。 2、我们可以将这个非标准形式的参数方程转化为标准形式的参数方程。如下转化： $\begin{cases}x=-1+3m=-1+\cfrac{3}{\sqrt{3^2+(\sqrt{3})^2}}\cdot \sqrt{3^2+(\sqrt{3})^2}\cdot m \\y=0+\cfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3^2+(\sqrt{3})^2}}\cdot\sqrt{3^2+(\sqrt{3})^2}\cdot m \end{cases}(m为参数)$ 即$\begin{cases}x=-1+\cfrac{3}{2\sqrt{3}}\cdot 2\sqrt{3}\cdot m \\y=\cfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}\cdot 2\sqrt{3}\cdot m \end{cases}(m为参数)$ $\begin{cases}x=-1+\cfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot 2\sqrt{3}\cdot m \\y=\cfrac{1}{2}\cdot 2\sqrt{3}\cdot m \end{cases}(m为参数)$ 此时令$2\sqrt{3}m=t$，则上述参数方程变形为 即$\begin{cases}x=-1+\cfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot t\\y=\cfrac{1}{2}\cdot t \end{cases}(t为参数)$