加权最小二乘滤波WLS（weighted least squares）加上双边滤波，引导滤波是三种较为经典的边缘保持性滤波算法，该算法最早见于论文：《Edge-Preserving Decompositions for Multi-Scale Tone and Detail Manipulation》中，原作者项目主页：http://www.cs.huji.ac.il/~danix/epd/，本篇进行总结和测试。

加权最下二乘滤波原理：

作者提出该算法的初衷是，基于双边滤波的算法无法在多尺度上提取到很好的细节信息，并可能出现伪影。加权最小二乘滤波目的即是使得结果图像u 与原始图像 p经过平滑后尽量相似，但是在边缘部分尽量保持原状，用数学表达出来即为：

（1）

其中，ax,ay为权重系数。目标函数第一项(up−gp)2代表输入图像u和输出图像g越相似越好；第二项是正则项，通过最小化u的偏导，使得输出图像g越平滑越好。

上式可以改写为矩阵形式：

（2）

其中，Ax,Ay为以ax,ay为对角元素的对角矩阵，Dx，Dy为前向差分矩阵，DTx和DTy是后向差分算子，要使得（2）式去的最小值，u需满足如下：

（3）

其中，，作者去的平滑权重系数为：

其中 l 表示log， ε一般取0.0001。式（3）求出μ为：

，（4）

当所选区域连续是，平滑权重系数可以近似为：ax ≈ ay ≈ a,那么：

（5）

现在，式（5）未知变量就只剩下一个L了，L = DTxDx + DTyDy，可以看出，L为拉普拉斯齐次矩阵。更多内容可以参考《Efficient Preconditioning of Laplacian Matrices for Computer Graphics》，里面介绍了拉普拉斯矩阵的数学基础和应用。

加权最小二乘滤波实现：

原作者在项目主页中公布了源码，这里po一下，便于理解：

function OUT = wlsFilter(IN, lambda, alpha, L)
%WLSFILTER Edge-preserving smoothing based on the weighted least squares(WLS)
%   optimization framework, as described in Farbman, Fattal, Lischinski, and
%   Szeliski, "Edge-Preserving Decompositions for Multi-Scale Tone and Detail
%   Manipulation", ACM Transactions on Graphics, 27(3), August 2008.
%
%   Given an input image IN, we seek a new image OUT, which, on the one hand,
%   is as close as possible to IN, and, at the same time, is as smooth as
%   possible everywhere, except across significant gradients in L.
%
%
%   Input arguments:
%   ----------------
%     IN              Input image (2-D, double, N-by-M matrix).
%
%     lambda          Balances between the data term and the smoothness
%                     term. Increasing lambda will produce smoother images.
%                     Default value is 1.0
%
%     alpha           Gives a degree of control over the affinities by non-
%                     lineary scaling the gradients. Increasing alpha will
%                     result in sharper preserved edges. Default value: 1.2
%
%     L               Source image for the affinity matrix. Same dimensions
%                     as the input image IN. Default: log(IN)
%
%
%   Example
%   -------
%     RGB = imread('peppers.png');
%     I = double(rgb2gray(RGB));
%     I = I./max(I(:));
%     res = wlsFilter(I, 0.5);
%     figure, imshow(I), figure, imshow(res)
%     res = wlsFilter(I, 2, 2);
%     figure, imshow(res)if(~exist('L', 'var')), %如果参数不存在，所取默认值，下同L = log(IN+eps);
endif(~exist('alpha', 'var')),alpha = 1.2;
endif(~exist('lambda', 'var')),lambda = 1;
endsmallNum = 0.0001;[r,c] = size(IN);
k = r*c;% Compute affinities between adjacent pixels based on gradients of L
dy = diff(L, 1, 1);  %对L矩阵的第一维度上做差分
dy = -lambda./(abs(dy).^alpha + smallNum);
dy = padarray(dy, [1 0], 'post'); %在最后一行后面补一行0
dy = dy(:); %按列生成向量，就是Ay对角线上元素构成的矩阵，下同dx = diff(L, 1, 2);
dx = -lambda./(abs(dx).^alpha + smallNum);
dx = padarray(dx, [0 1], 'post');
dx = dx(:);% Construct a five-point spatially inhomogeneous Laplacian matrix
B(:,1) = dx;
B(:,2) = dy;
d = [-r,-1];
A = spdiags(B,d,k,k);e = dx;
w = padarray(dx, r, 'pre'); w = w(1:end-r);
s = dy;
n = padarray(dy, 1, 'pre'); n = n(1:end-1);D = 1-(e+w+s+n);
A = A + A' + spdiags(D, 0, k, k);% Solve
OUT = A\IN(:);
OUT = reshape(OUT, r, c);

这里A+A′构造的是拉普拉斯非主对角线元素，D是主对角线元素。n,s,w,e是上（北）下（南）左（西）右（东）四个方位。最终生成的一副拉普拉斯矩阵图：

图中每一行元素之和都为0。其中紧靠主对角线元素的两个对角线填充的是dy元素,比较远的对角线填充的是dx元素，这样拉普拉斯矩阵处理的就是二维图像了。

测试函数：

%% 加权最小二乘滤波测试函数
clc,close all,clear all;
RGB = imread('flower.png');
% if length(size(RGB))>2
%     I = double(rgb2gray(RGB));
% else
%     I=double(RGB);
% end
I=double(RGB);
res=I;
if length(size(RGB))>2for i=1:3I(:,:,i) = I(:,:,i)./max(I(:));res(:,:,i) = wlsFilter(I(:,:,i));end
end
figure,
subplot(211),imshow(I),title('原图');
subplot(212), imshow(res),title('wls-output');

参考：

http://blog.csdn.net/bluecol/article/details/48576253

Edge-preserving decompositions for multi-scale tone and detail manipulation. ACM Transactions on Graphics
Efficient preconditioning of laplacian matrices for computer graphics[J]. ACM Transactions on Graphics

加权最小二乘（wls）滤波算法原理及实现相关推荐

一阶RC低通滤波算法原理与实现
文章目录 1. 一阶低通滤波算法原理 2. 一阶滤波算法的特点 3. 基本算法的例程 4. 优化:减少乘.除的运算次数以提高运算速度 5. 改进:动态调整滤波系数动态调整滤波例程本文整理自网络,参 ...
Kalman滤波算法原理(Matlab/C/C++)
仪器的观测存在较大的随机误差,因此会出现极端异常观测值.为此,本研究采用Kalman滤波对观测进行最佳估计,进而对时序数据进行降维处理.Kalman滤波是R. E. Kalman[1, 2]提出的一种 ...
LMS 自适应滤波算法原理和实现（不使用自带函数库）
1.基本原理 y(n)=x(n)wTe(n)=d(n)−y(n)w(n+1)=w(n)+μe(n)x(n)\begin{aligned} &y(n)=\pmb{x}(n)\pmb{w}^T\\ ...
卡尔曼(Kalman)滤波算法原理、C语言实现及实际应用
文章目录卡尔曼滤波一.滤波效果展示二.简介三.组成 1. 预测状态方程 (1)目的: (2)方程: (3)备注 2. 预测协方差方程 (1)目的 (2)方程 (3)备注 3. 卡尔曼增益方程 ...
计算机视觉滤波器大小,计算机视觉——加权最小二乘（WLS）滤波器
计算机视觉--加权最小二乘(WLS)滤波器计算机视觉--加权最小二乘(WLS)滤波器 Edge-Preserving Decompositions for Multi-Scale Tone and ...
Bilateral Filters（双边滤波算法）原理及实现（一）
双边滤波算法原理双边滤波是一种非线性滤波器,它可以达到保持边缘.降噪平滑的效果.和其他滤波原理一样,双边滤波也是采用加权平均的方法,用周边像素亮度值的加权平均代表某个像素的强度,所用的加权平均基于高 ...
Bilateral Filters（双边滤波算法）的超简单原理，学不会你打我。
摘要: 双边滤波(Bilateral Filters)是非常常用的一种滤波,它可以达到保持边缘.降噪平滑的效果.和其他滤波原理一样,双边滤波也是采用加权平均的方法,用周边像素亮度值的加权平均代表某个像 ...
NR基础篇下——中值滤波、多级中值滤波、多级中值混合滤波、加权中值滤波、中值有理滤波
上一篇分享了一些均值滤波相关的算法,均值滤波作为一种线性滤波器,在滤除噪声的同时也会导致边缘模糊问题.而且均值滤波对高斯噪声的效果很好,但是对于椒盐噪声的效果就很一般.但是中值滤波作为一种顺序滤波器, ...
matlab双边滤波处理点云,常见点云滤波算法
姓名:张志文学号:19021210649 [嵌牛观察] 目前点云处理的算法十分的多,不同的滤波算法有着不同的应用方向 [嵌牛鼻子] 点云:滤波 [嵌牛提问] 常见的点云滤波算法有哪些? [嵌牛正文] ...
图像处理：双边滤波算法
今天主要是回顾一下双边滤波,我曾经在这篇--图像处理:推导五种滤波算法中推导过它,其中包含了我自己写的草稿图. 目录双边滤波算法原理 (1)空间域核 (2)值域核理解双边滤波空域权重编辑和值域 ...

加权最小二乘（wls）滤波算法原理及实现

加权最下二乘滤波原理：

加权最小二乘滤波实现：

加权最小二乘（wls）滤波算法原理及实现相关推荐

最新文章

热门文章