第44课 - 最小连通网

1. 运营商的挑战

在下图标出的城市之间架设一条通信线路。

要求：任意两个城市间能够通信，将架设成本降至最低。

2. 问题的提出

如何在图中选择n-1条表使得n个顶点间两两可达，使得这n-1条边的权值之和最小。

(1)      必须使用且仅使用该网络中的n-1条边来连接网络中的n个结点；

(2)      不能使用产生回路的边；

(3)      各个边上的权值的总和达到最小。

3. Prim算法

从图N = {V, E}中选择某一个顶点u₀进行标记，之后选择与它关联的具有最小权值的边(u₀, v)，并且将顶点v进行标记。

反复在一个顶点被标记，而在另一个顶点未被标记的各条边中选择权值最小的边(u₀, v)，并将为标记的顶点进行标记。

4. 算法步骤

(1)      从某一个顶点u₀出发，使得U = {u₀}，TE={}

(2)      每次选择一条边，这条边是所有(u, v)中权值最小的边，而且，。修改U和TE：，。

(3)      当时，转2,；否则，结束。

5. 程序—Prim算法的实现

#include <stdio.h>

#include <stdlib.h>

/* run this program using the console pauser or add your own getch, system("pause") or input loop */

#define VNUM 9

#define MV 65536

int P[VNUM];

int Cost[VNUM];

int Mark[VNUM];

int Matrix[VNUM][VNUM] =

{

{0, 10, MV, MV, MV, 11, MV, MV, MV},

{10, 0, 18, MV, MV, MV, 16, MV, 12},

{MV, 18, 0, 22, MV, MV, MV, MV, 8},

{MV, MV, 22, 0, 20, MV, MV, 16, 21},

{MV, MV, MV, 20, 0, 26, MV, 7, MV},

{11, MV, MV, MV, 26, 0, 17, MV, MV},

{MV, 16, MV, MV, MV, 17, 0, 19, MV},

{MV, MV, MV, 16, 7, MV, 19, 0, MV},

{MV, 12, 8, 21, MV, MV, MV, MV, 0},

};

void Prim(int sv) // O(n*n)

{

int i = 0;

int j = 0;

if( (0 <= sv) && (sv < VNUM) )

{

for(i=0; i<VNUM; i++)

{

Cost[i] = Matrix[sv][i];

P[i] = sv;

Mark[i] = 0;

}

Mark[sv] = 1;

for(i=0; i<VNUM; i++)

{

int min = MV;

int index = -1;

for(j=0; j<VNUM; j++)

{

if( !Mark[j] && (Cost[j] < min) )

{

min = Cost[j];

index = j;

}

}

if( index > -1 )

{

Mark[index] = 1;

printf("(%d, %d, %d)\n", P[index], index, Cost[index]);

}

for(j=0; j<VNUM; j++)

{

if( !Mark[j] && (Matrix[index][j] < Cost[j]) )

{

Cost[j]  = Matrix[index][j];

P[j] = index;

}

}

}

}

}

int main(int argc, char *argv[])

{

Prim(0);

return 0;

}

思考：

既然最小联通网是以边的权值之和为最终目标，那么是不是可以直接选择边，而不是通过顶点来选择边呢？

6. Kruskal算法

(1)      对于n个顶点的图G = {V, E}。

(2)      构造一个只有n个顶点，没有边的图。

(3)      在E中选择一条具有最小权值的边，若该边的两个顶点不构成回路，则将此边加入到T中；否则将此边社区，重新选择一条权值最小的边。

(4)      如此重复吓阻，直到所有顶点都联通位置。

7. Kruskal算法实现

步骤1：

定义边结构体

typedef struct _tag_Edge

{

int begin;

int end;

int weight;

}TEdge;

步骤2：

定义边集数组并排序

	begin	end	weight
edges[0]	4	7	7
edges[1]	2	8	8
edges[2]	0	1	10
edges[3]	0	5	11
edges[4]	1	8	12
edges[5]	3	7	16
edges[6]	1	6	16
edges[7]	5	6	17
edges[8]	1	2	18
edges[9]	6	7	19
edges[10]	3	4	20
edges[11]	3	8	21
edges[12]	2	3	22
edges[13]	3	6	24
edges[14]	4	5	26

步骤3：

定义辅助数组P[n]，其中n为顶点数目。

P[]用于记录边顶点的首位连接关系。

8. Kruskal算法核心思想

遍历edges数组中的每一个元素。

通过P数组查找begin顶点的最终连接点v1

通过P数组查找end顶点的最终连接点v2.

v1 != v2则：当前边为最小连通网中的边，记录连接关系，P[v1] = v2;

v1 == v2则：产生回路，舍弃当前边。

算法举例：

小结：

(1)      Prim算法是针对顶点展开的，适合于边的数量较，适合于边的数量较多的情况。

(2)      Kruskal算法是针对边展开的，适合于边的数量较，适合于边的数量较少的情况。