【总结】背包问题的至多/恰好/至少

对于一维背包问题，注意区分该问题的下面这三种情况，即至多/恰好/至少，它们的状态转移方程其实是一样的，差异在于初始化。

(1) 体积至多是v时的最小/大值
全部初始化为0，且保证v大于等于0。
代表题目：AcWing 423.采药，其代码如下：

import java.util.*;public class Main{public static void main(String[] args){Scanner sc = new Scanner(System.in);int T = sc.nextInt();int M = sc.nextInt();int[] time = new int[M + 10];int[] value = new int[M + 10];for(int i = 1; i <= M; i ++){time[i] = sc.nextInt();value[i] = sc.nextInt();}// dp：01背包问题int[] f = new int[T + 10];for(int i = 1; i <= M; i ++)for(int j = T; j >= time[i]; j --){f[j] = Math.max(f[j], f[j - time[i]] + value[i]);}System.out.println(f[T]);}
}

(2) 体积恰好是v时的最小/大值
f[0]初始化为0，其余初始化为正/负无穷（分别对应题目问的最小/最大，代表不合法状态，不应该被选取），且保证v大于等于0。
代表题目：LeetCode 322.零钱兑换，其代码如下：

class Solution {public int coinChange(int[] coins, int amount) {// 完全背包问题int n = coins.length;int[] f = new int[amount + 10];// 初始化for(int i = 1; i < f.length; i ++) f[i] = 1 << 25;f[0] = 0;// DP，状态计算for(int i = 1; i <= n; i ++)for(int j = coins[i - 1]; j <= amount; j ++){f[j] = Math.min(f[j], f[j - coins[i - 1]] + 1);}if(f[amount] >= 1 << 25) return -1;else return f[amount];}
}

(3) 体积至少是v时的最小/大值
f[0]初始化为0，其余初始化为正/负无穷（分别对应题目问的最小/最大，代表不合法状态，不应该被选取），无需保证v大于等于0。
代表题目：AcWing 1020.潜水员，其代码如下：

import java.util.*;public class Main{static int M = 30;static int N = 90;static int K = 1010;static int[][] f = new int[M][N];public static void main(String[] args){Scanner sc = new Scanner(System.in);int m = sc.nextInt();int n = sc.nextInt();int k = sc.nextInt();// 初始化for(int i = 0; i < M; i ++)for(int j = 0; j < N; j ++)f[i][j] = 1 << 25;f[0][0] = 0;// dp，状态计算for(int i = 1; i <= k; i ++){int a = sc.nextInt();int b = sc.nextInt();int c = sc.nextInt();for(int j = m; j >= 0; j --)for(int s = n; s >= 0; s --)f[j][s] = Math.min(f[j][s], f[Math.max(0, j - a)][Math.max(0, s - b)] + c);}System.out.println(f[m][n]);}
}

另外，如果是二维背包问题，处理方式也是类似的。

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