连续计算平均数和方差

问题：对数列x[n]x[n]x[n],计算其平均数m[n]m[n]m[n],方差v[n]v[n]v[n]，平均数m[n]为x[1]到x[n]之间数的平均值v[n]为x[1]到x[n]之间的方差
m[n]=∑1n(x[i]n)v[n]=∑in((x[i]−m[n])2n)m[n]=\sum_1^n(\frac{x[i]}{n})\\ v[n]=\sum_i^n(\frac{(x[i]-m[n])^2}{n}) m[n]=1∑n(nx[i])v[n]=i∑n(n(x[i]−m[n])2)

这个问题用通用的方法计算没有问题，但是效率会比较低。因为计算后面的平均数和方差时，前面的数重复累加计算了多次。对于平均数m[n]，一个简单的优化方法就是设置一个累加序列s[n],s[i]为x[0]到x[i]之间数的和。这样计算平均数m[n]，很容易从s[n]得到，计算方差呢？也可以设置另一个累加序列s2[n]，s2[i]为x[0]到x[i]之间数的平方和。
s[n]=∑1n(x[i])m[n]=s[n]ns2[n]=∑1nx[i]2v[n]=∑1nx[i]2+n∗m[n]2−2∗m[n]∗∑1nx[i]n=s2[n]+n∗m[n]2−2∗m[n]∗s[n]ns[n]=\sum_1^n(x[i])\\ m[n]=\frac{s[n]}{n}\\ s2[n]=\sum_1^n{x[i]^2}\\ v[n]=\frac{\sum_1^n{x[i]^2}+n*m[n]^2-2*m[n]*\sum_1^n{x[i]}}{n}\\ =\frac{s2[n]+n*m[n]^2-2*m[n]*s[n]}{n} s[n]=1∑n(x[i])m[n]=ns[n]s2[n]=1∑nx[i]2v[n]=n∑1nx[i]2+n∗m[n]2−2∗m[n]∗∑1nx[i]=ns2[n]+n∗m[n]2−2∗m[n]∗s[n]
但是这种方法需要另外再多加两个数组s[n]和s2[n]。下面介绍一种更好的方法，据说来自Donald Knuth 的《计算机程序设计艺术》第二卷，但是我粗略在这本书中找了一下没有找到。我是在《Learning JavaScript JavaScript Essentials for Modern Application Development》这本书中介绍reduce方法(P140)看到的，觉得这种递推方法很漂亮。下面进行推导：
m[n]=∑1n(x[i]n)=∑1n−1x[i]+x[n]n=∑1n−1x[i]n−1∗n−1n+x[n]n=m[n−1]∗n−1n+x[n]n=n∗m[n−1]−m[n−1]+x[n]n=m[n−1]+x[n]−m[n−1]nm[n]=\sum_1^n(\frac{x[i]}{n})\\ =\frac{\sum_1^{n-1}x[i]+x[n]}{n}\\ =\frac{\sum_1^{n-1}x[i]}{n-1}*\frac{n-1}{n}+\frac{x[n]}{n}\\ =m[n-1]*\frac{n-1}{n}+\frac{x[n]}{n}\\ =\frac{n*m[n-1]-m[n-1]+x[n]}{n}\\ =m[n-1]+\frac{x[n]-m[n-1]}{n} m[n]=1∑n(nx[i])=n∑1n−1x[i]+x[n]=n−1∑1n−1x[i]∗nn−1+nx[n]=m[n−1]∗nn−1+nx[n]=nn∗m[n−1]−m[n−1]+x[n]=m[n−1]+nx[n]−m[n−1]
方差的计算有点区别，先计算其二阶矩。
M2[n]=∑1n(x[i]−m[n])2=∑1n(x[i]−m[n−1]−x[n]−m[n−1]n)2=∑1n(x[i]−m[n−1])2+(x[n]−m[n−1])2n−2∗x[n]−m[n−1]n∗∑1nx[i]−m[n−1]=M2[n−1]+(x[n]−m[n−1])2+(x[n]−m[n−1])2n−2∗(x[n]−m[n−1])2n=M2[n−1]+(x[n]−m[n−1])2−(x[n]−m[n−1])2n=M2[n−1]+(x[n]−m[n−1])∗(x[n]−m[n−1]−m[n]+m[n−1])=M2[n−1]+(x[n]−m[n−1])∗(x[n]−m[n])M2[n]=\sum_1^n{(x[i]-m[n])^2}\\ =\sum_1^n{(x[i]-m[n-1]-\frac{x[n]-m[n-1]}{n})^2}\\ =\sum_1^n{(x[i]-m[n-1])^2}+\frac{(x[n]-m[n-1])^2}{n}-2*\frac{x[n]-m[n-1]}{n}*\sum_1^n{x[i]-m[n-1]}\\ =M2[n-1]+(x[n]-m[n-1])^2+\frac{(x[n]-m[n-1])^2}{n}-2*\frac{(x[n]-m[n-1])^2}{n}\\ =M2[n-1]+(x[n]-m[n-1])^2-\frac{(x[n]-m[n-1])^2}{n}\\ =M2[n-1]+(x[n]-m[n-1])*(x[n]-m[n-1]-m[n]+m[n-1])\\ =M2[n-1]+(x[n]-m[n-1])*(x[n]-m[n]) M2[n]=1∑n(x[i]−m[n])2=1∑n(x[i]−m[n−1]−nx[n]−m[n−1])2=1∑n(x[i]−m[n−1])2+n(x[n]−m[n−1])2−2∗nx[n]−m[n−1]∗1∑nx[i]−m[n−1]=M2[n−1]+(x[n]−m[n−1])2+n(x[n]−m[n−1])2−2∗n(x[n]−m[n−1])2=M2[n−1]+(x[n]−m[n−1])2−n(x[n]−m[n−1])2=M2[n−1]+(x[n]−m[n−1])∗(x[n]−m[n−1]−m[n]+m[n−1])=M2[n−1]+(x[n]−m[n−1])∗(x[n]−m[n])

m[n]和M2[n]计算都有一个x[n]−m[n−1]x[n]-m[n-1]x[n]−m[n−1]项，M2[n]还有一项很相似的x[n]−m[n]x[n]-m[n]x[n]−m[n]，并且都是累加的形式。虽然计算v[n]还需要先计算M2[n]，似乎还是多了一个临时数组。

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