图像Lanczos3滤波—

Lanczos 滤波器，因发明者而得名，在信号处理领域，主要用在增加采样率和低通滤波，在图像处理领域用于图像缩放、旋转，其可以在减小锯齿、锐度、振铃效应（ aliasing, sharpness, and minimal ringing）取得最好的平衡。
滤波函数如下：
L(x)={sinc⁡(x) sinc⁡(x/a)if −a<x<a,0otherwise.{\displaystyle L(x)={\begin{cases}\operatorname {sinc} (x)\,\operatorname {sinc} (x/a)&{\text{if}}\ -a<x<a,\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}L(x)={sinc(x)sinc(x/a)0if −a<x<a,otherwise.
等价于：
L(x)={1if x=0,asin⁡(πx)sin⁡(πx/a)π2x2if −a≤x<aand x≠0,0otherwise.{\displaystyle L(x)={\begin{cases}1&{\text{if}}\ x=0,\\{\dfrac {a\sin(\pi x)\sin(\pi x/a)}{\pi ^{2}x^{2}}}&{\text{if}}\ -a\leq x<a\ {\text{and}}\ x\neq 0,\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}L(x)=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧1π2x2asin(πx)sin(πx/a)0if x=0,if −a≤x<a and x̸=0,otherwise.
当a取3时，就是Lanczos3滤波器。
插值公式：
S(x)=∑i=⌊x⌋−a+1⌊x⌋+asiL(x−i)S(x) = \sum_{i=\lfloor x \rfloor - a + 1}^{\lfloor x \rfloor + a} s_{i} L(x - i)S(x)=i=⌊x⌋−a+1∑⌊x⌋+asiL(x−i)
a是滤波尺寸,⌊x⌋\lfloor x \rfloor⌊x⌋是向下取整。
性质：
1、a>0,Lanczos 核函数对每个点都是连续，并且其倒数也是连续，因此S(x)S(x)S(x)连续，其倒数连续；
2、Lanczos 核函数在整数点值为零，除了 x = 0,核函数为1，相当于原始x处信号值不变，仅仅对小数位置进行插值；
二维的情形：
L(x,y)=L(x)L(y){\displaystyle L(x,y)=L(x)L(y)}L(x,y)=L(x)L(y)
算法实现：
代码实现参考https://github.com/richgel999/imageresampler

#define  M_PI       3.14159265358979323846
//sinc函数值
static double sinc(double x)
{x = (x * M_PI);if ((x < 0.01f) && (x > -0.01f))return 1.0f + x*x*(-1.0f / 6.0f + x*x*1.0f / 120.0f);return sin(x) / x;
}

对于0附近的sinc函数值，采用其泰勒展开式计算:
sinc⁡(x)=sin⁡(x)x=∑n=0∞(−x2)n(2n+1)!\operatorname {sinc} (x)={\frac {\sin(x)}{x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\left(-x^{2}\right)^{n}}{(2n+1)!}}sinc(x)=xsin(x)=n=0∑∞(2n+1)!(−x2)n

//计算Lanczos3核函数
static float clip(double t)
{const float eps = .0000125f;if (fabs(t) < eps)return 0.0f;return (float)t;
}static inline float lancos(float t)
{if (t < 0.0f)t = -t;if (t < 3.0f)return clip(sinc(t) * sinc(t / 3.0f));elsereturn (0.0f);
}

//x方向的插值：
static inline float lancos3_resample_x(uint8_t** arr,int src_w, int src_h, int y, int x,float xscale)
{float s = 0;float coef_sum = 0.0f;float coef;float pix;int i;int l, r;float c;float hw;//对于缩小的情况hw相当于扩大了领域像素个数，这里如果不作此处理，最终缩小图片效果跟最近领域插值法没多少区别，其效果相当于先低通滤波，再插值if (xscale > 1.0f)hw = 3.0f;elsehw = 3.0f / xscale;c = (float)x / xscale;l = (int)floor(c - hw);r = (int)ceil(c + hw);if (y < 0)y = 0;if (y >= src_h)y = src_h - 1;if (xscale > 1.0f)xscale = 1.0f;for (i = l; i <= r; i++){   x = i;if (i < 0)x = 0;if (i >= src_w)x = src_w - 1;pix = arr[y][x];coef = lancos((c-i)*xscale);s += pix * coef;coef_sum += coef;}s /= coef_sum; return s;
}

void img_resize_using_lancos3(uint8_2d* src, uint8_2d* dst)
{int src_rows, src_cols;int dst_rows, dst_cols;int i, j;if (!src || !dst)return;uint8_t** src_arr;uint8_t** dst_arr;float xratio;float yratio;float pix;int val;int k;float hw;src_arr = src->arr;dst_arr = dst->arr;src_rows = src->rows;src_cols = src->cols;dst_rows = dst->rows;dst_cols = dst->cols;xratio = (float)(dst_cols) / (float)src_cols;yratio = (float)(dst_rows) / (float)src_rows;float scale = 0.0f;if (yratio > 1.0f){hw = 3.0;scale = 1.0f;}else{hw = 3.0 / yratio;scale = yratio;}for (i = 0; i < dst_rows; i++){for (j = 0; j < dst_cols; j++){int t, b;float c;float s = 0;float coef_sum = 0.0f;float coef;float pix;c = (float)i / yratio;t = (int)floor(c - hw);b = (int)ceil(c + hw);//先对x方向插值，再进行y方向插值。for (k = t; k <= b; k++){pix = lancos3_resample_x(src_arr, src_cols,src_rows, k, j,xratio);coef = lancos((c - k)*scale);coef_sum += coef;pix *= coef;s += pix;}val = (int)s / coef_sum;if (val < 0)val = 0;if (val > 255)val = 255;dst_arr[i][j] = val;}}
}

测试代码：

void test_lancos3_resize(dai_image* img, float factor)
{uint8_2d* r = NULL;uint8_2d* g = NULL;uint8_2d* b = NULL;uint8_2d* r1 = NULL;uint8_2d* g1 = NULL;uint8_2d* b1 = NULL;dai_image* img1 = NULL;if (!img)return;split_img_data(img, &r, &g, &b);int w, h;int w1, h1;w = img->width;h = img->height;w1 = factor*w;h1 = factor*h;r1 = create_uint8_2d(h1, w1);g1 = create_uint8_2d(h1, w1);b1 = create_uint8_2d(h1, w1);img_resize_using_lancos3(r, r1);img_resize_using_lancos3(g, g1);img_resize_using_lancos3(b, b1);merge_img_data(r1, g1, b1, &img1);if (img1){img1->type = EJPEG;dai_save_image("resize_lancos3.jpg", img1);dai_destroy_image(&img1);}destroy_uint8_2d(&r);destroy_uint8_2d(&g);destroy_uint8_2d(&b);destroy_uint8_2d(&r1);destroy_uint8_2d(&g1);destroy_uint8_2d(&b1);
}

效果图：
原图：

缩小3倍的图：

另外，缩小之后，图像相对变暗，这时，可以采用gama校正改变亮度。

参考文献：
1、http://www.realitypixels.com/turk/computergraphics/ResamplingFilters.pdf
2、https://en.wikipedia.org/wiki/Lanczos_resampling
3、https://github.com/richgel999/imageresampler

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