P2197 【模板】nim 游戏（转自洛谷）

题目描述

甲，乙两个人玩 nim 取石子游戏。

nim 游戏的规则是这样的：地上有 n 堆石子（每堆石子数量小于 10^4），每人每次可从任意一堆石子里取出任意多枚石子扔掉，可以取完，不能不取。每次只能从一堆里取。最后没石子可取的人就输了。假如甲是先手，且告诉你这 n 堆石子的数量，他想知道是否存在先手必胜的策略。

输入格式

本题有多组测试数据。

第一行一个整数 T （T≤10），表示有 T 组数据

接下来每两行是一组数据，第一行一个整数 n，表示有 n 堆石子，n≤10^4。

第二行有 n 个数，表示每一堆石子的数量。

输出格式

共 T 行，每行表示如果对于这组数据存在先手必胜策略则输出 `Yes`，否则输出 `No`。

样例输入 #1
2
2
1 1
2
1 0

样例输出 #1
No
Yes

题目思路：

必胜策略，即当你执行最后一步后，你的对手已无石子可取，他必败你必胜。最后局面是地上各个石子堆已无石子可取，假设 ai 代表第 i 个石子堆中的石子数，则 ai = 0（i ≤ n）。即可得，a1^a2^a3^……^an=0（^表示异或），令ans = a1^a2^a3^……^an，要想必胜，说明最后的局面一定是ans==0，那我只需要满足，我每次操作完使得ans==0即可，那么每次留给对手的局面都是ans==0（怎么实现后面讲），并且石子的初始数确定，每次都取走一部分的石子，在有限的步数内肯定会取完，当执行到最后一步ans==0时，恰好最后的石子被你取完，你必胜。

那么，判断是否存在先手必胜策略这一问题，即可一开始检验石子堆中的ans是否为0，当ans为0时，你面对的是ans==0的局面，你的任意操作都会使得当前ans不为0，你的对手又足够聪明，那你每执行一步，他都会再次把ans==0的局面返还给你，那你最后必输；当ans不为0时，你先手，你又足够聪明，你每次执行后都可以把ans==0的局面留给对手，最后你必胜。

小tip：

为什么每次操作之后都会使得ans==0转化成ans != 0，并且足够聪明的你执行完一次操作之后又能把ans != 0变成ans==0？

1、ans==0执行一次操作之后为什么会转化为ans != 0？

异或，即是把每个ai中转化为二进制的形式，再对每一个位置的所有0和1进行异或操作，举个例子：5^3=6（0101^0011=0110）。而ans = a1^a2^a3^……^an，每次只能对一个石子堆操作，即每次操作只会影响ai（i ≤ n）中的一个，假设是对ak进行操作，则（没操作前的ak）^（其它ai的异或）==0，说明（其它ai的异或）==（没操作前的ak）（因为两个相同的数相异或结果才为0），现在对ak进行操作，则ak的值肯定会变化，其二进制形式也随之变化，则（操作后的ak）!=（其它ai的异或），所以（操作后的ak）^（其它ai的异或）!= 0，则ans != 0。

2、为什么足够聪明的你执行完一次操作之后又能把ans != 0变成ans==0？

ans = a1^a2^a3^……^an，是各个位置多个0和1的异或，因为ans != 0，说明一定有个别位置中1的个数为奇数，则我们可以把该位置上的1去掉一个或增加一个，即取走一些石头，使之为偶数，则ans==0。例如：10^5=15（1010^0101=1111），这是最经典的了，我们可以从10中拿走5，则5^5=0，所以想说明的是，总有办法使ans==0。

AC代码：

#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{int t=0;scanf("%d", &t);int n=0;string str[11];for(int i=1; i<=t; i++){scanf("%d", &n);int ans=0, temp=0;for(int j=1; j<=n; j++){scanf("%d", &temp);ans=ans^temp;}if(ans==0)str[i]="No";else str[i]="Yes";} for(int i=1; i<t; i++){cout<<str[i]<<endl;}cout<<str[t];return 0;
}

希望能帮助到大家！

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