UTF8gbsn

Intro

Weak ∀ ϵ > 0 , lim ⁡ n → ∞ P ( ∣ X ‾ − μ ∣ ≤ ϵ ) = 1 \forall \epsilon>0, \lim _{n \rightarrow \infty} P\left(\left|\overline{X}-\mu\right| \leq \epsilon\right)=1 ∀ϵ>0,n→∞limP(∣∣X−μ∣∣≤ϵ)=1
- 注意弱大数定理，收敛的对象是概率 p → 0 p \rightarrow 0 p→0
- 解释起来是当 n > N n>N n>N时。
  
  ∣ p − 1 ∣ < ϵ p |p-1|<\epsilon_{p} ∣p−1∣<ϵp
  
  由于 P = P r ( ∣ X ‾ − μ ∣ > ϵ ) P=Pr(|\overline{X}-\mu|>\epsilon) P=Pr(∣X−μ∣>ϵ),可以得出自变量 X ‾ \overline{X} X与 μ \mu μ的差有时候会大于 ϵ \epsilon ϵ，只是概率非常小。而是时有发生。
Strong ∀ ϵ > 0 , P ( lim ⁡ n → ∞ ∣ X ‾ − μ ∣ ≤ ϵ ) = 1 \forall \epsilon>0, P\left(\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\overline{X}-\mu\right| \leq \epsilon\right)=1 ∀ϵ>0,P(n→∞lim∣∣X−μ∣∣≤ϵ)=1
- 强大数定理，收敛的是 X ‾ → μ \overline{X} \rightarrow \mu X→μ
- 解释起来就是当 n > N n>N n>N时有 X ‾ − μ ⩽ ϵ \overline{X}-\mu \leqslant \epsilon X−μ⩽ϵ
  
  的概率为1
中心极限定理(独立同分布)

lim ⁡ n → ∞ F n ( x ) = lim ⁡ n → ∞ { ∑ i = 1 n X i − n μ n σ ≤ x } = 1 2 π ∫ − ∞ x e − t 2 2 d t \lim _{n \rightarrow \infty} F_{n}(x)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left\{\frac{\sum_{i=1}^{n} X_{i}-n \mu}{\sqrt{n} \sigma} \leq x\right\}=\frac{1}{\sqrt{2} \pi} \int_{-\infty}^{x} e^{-\frac{t^{2}}{2}} d t n→∞limFn(x)=n→∞lim{n σ∑i=1nXi−nμ≤x}=2 π1∫−∞xe−2t2dt

example

弱大数定理

满足弱大数定理，不满足强大数定理的例子没有想到。但是可以展示下按概率收敛的是什么个意思。假如我们有一个数列为

1 , 0 , 1 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1 1,0,1,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1 1,0,1,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1

每两个1之间含有 2 n 2^n 2n个0那么实际上我们可以说，这个数列按概率收敛于 0 0 0,但是不是处处收敛于 0 0 0。因为 n n n无论多大，都会有元素 1 1 1出现在数列上。

强大数定理

丢骰子的游戏可以用来列举一下强大数定理。首先色子有6个结果 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 1,2,3,4,5,6 1,2,3,4,5,6,并且是等概率的。那么它的期望就是.
E = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 6 = 3.5 E=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=3.5 E=61+2+3+4+5+6=3.5

我们总共生成了1000个均值。每次的采样点数量按照下面的数列推进。
100 , 200 , 300 , . . . , 1000 ∗ 100 100,200,300,...,1000*100 100,200,300,...,1000∗100
最终我们把图像展示出来。后面所有的均值都夹在 ( 3.48 ∼ 3.52 ) (3.48\sim 3.52) (3.48∼3.52)之间。

中心极限定理

我们来举一个例子。我们的试验采用的随机变量服从 X ∼ N ( 1 , 3 ) X\sim N(1, 3) X∼N(1,3),也就是
D i s = 1 3 2 π e x p ( − ( x − 1 ) 2 2 ⋅ 3 2 ) Dis=\frac{1}{3\sqrt{2\pi}}exp(-\frac{(x-1)^2}{2\cdot 3^2}) Dis=32π 1exp(−2⋅32(x−1)2)

μ = 1 , σ = 3 \mu=1,\sigma=3 μ=1,σ=3

操作一:

R a n d o m ( D i s ) Random(Dis) Random(Dis) 1000 次并计算
ρ = ∑ i = 1 n X i − n μ n σ \rho=\frac{\sum_{i=1}^{n} X_{i}-n \mu}{\sqrt{n} \sigma} ρ=n σ∑i=1nXi−nμ
重复操作一 10000
次。我们可以得到10000个 ρ \rho ρ.把这10000个数据和标准正态分布画在同一个图中可得。

可见着10000个数据服从标准正态分布。也就是中心极限定理描述的事情。如果换不同的Dis你会得到同样的上图。

强大数定理，弱大数定理，和中心极限定理相关推荐

大数定理、正态分布、中心极限定理
大数定理.正态分布.中心极限定理坑 *中心极限定理说的是,每次抽样后样本的均值,服从正态分布. *大数定理说的是,随着样本量的增加,样本的均值,接近于总体的均值(切比雪夫大数定律).还可以这样理解: ...
大数定理和中心极限定理的通俗理解。
一直觉得大数定理和中心极限定理很神秘,很模糊.这次下决心来搞一个彻底清楚,研究一下. 先介绍一下大数定理.网上查了一下由下面几个版本. 切比雪夫大数定律:用统计方法来估计期望的理论依据.E(X)≈1n ...
大数定律和中心极限定理（未完成）
大数定律和中心极限定理背景:Chebyshev不等式.特征函数和两种收敛性 Chebyshev不等式问题定义解释特征函数依概率收敛背景定义含义解释依分布收敛.弱收敛大数定律切比 ...
通俗的角度理解遍历性定理（从大数定理,中心极限定理再到遍历性定理）
文章目录遍历性定理所以先理解什么是大数定律顺便再看看中心极限定理再看遍历性定理今天开始学时间序列分析,老师讲了一个名词叫遍历性定理. 遍历性定理百度百科上的定义: 遍历性定理类似于截面数据 ...
概率论基础 —— 10. 切比雪夫不等式、大数定理、中心极限定理
尽管统计学本身是门科学,我们也在纯数学的角度上研究了很多概率的性质.但是也不能否认统计学中依然有相当多经验总结.而且相当多的经验是行之有效的.在<概率论与数理统计>这本教材中,也列举了一些 ...
概率论与数理统计系列笔记之第四章——大数定理与中心极限定理
概率论与数理统计笔记(第四章大数定理与中心极限定理) 对于统计专业来说,书本知识总有遗忘,翻看教材又太麻烦,于是打算记下笔记与自己的一些思考,主要参考用书是茆诗松老师编写的<概率论与数理统计教 ...
【数据挖掘知识点三】大数定理与中心极限定理
知识点:大数定理与中心极限定理大数定理与中心极限定理是与统计学密切相关的重要数学定理,为抽样推断提供了数学理论基础. 1.大数定理即当n充分大时,事件A发生的频率接近(依概率收敛于)事件A发生的概 ...
大数定理中心极限定理_中心极限定理：直观的遍历
大数定理中心极限定理 One of the most beautiful concepts in statistics and probability is Central Limit Theore ...
概率论笔记：随机数、概率分布（正态分布）、中心极限定理（大数定理）
1.概率均匀分布(C语言) #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <time.h> int main( i ...

强大数定理，弱大数定理，和中心极限定理