AES 和 SM4 S盒复合域实现方法

AES 和 SM4 S 盒复合域实现方法

导语

本文介绍AES和SM4 S盒的复合域实现方法，该方法由D.Canright在《A Very Compact Rijndael S-box》一文中提出，是分组密码bitslice实现、受限资源算法硬件实现和一些掩码方案的基础。

1、背景

是的，你没看错。本文要讲一下如何实现 AES 和 SM4 的 S 盒实现。你可能好奇，S 盒实现有什么好讲的，c 语言一个unsigned int Sbox[256] = {...}，verilog 一个always case xxx:解决问题。没错，查表实现是S盒最基本的实现方法。高端一点的查表，可以将 S 盒的实现结合线性变换（AES 的 MixColumn，SM4 的 L）形成8→32的大表 T-Table 进行加速，例如openssl的查表实现。

其实，我们本文将探讨一种不通过查表，只是通过逻辑运算的 S 盒实现方法。

AES 和 SM4 的 S 盒都是由 GF(28) 有限域上的运算进行生成的。我们可以直接基于其实现方法，对 S 盒进行计算实现。在 AES 和 SM4 的 S 盒生成公式中，均设计在 GF(28) 的求逆运算，该运算比较耗时。有限域中求逆运算可以转化幂运算，例如 AES 的 S 盒可以表达为：
S(x)=63+05x254+09x253+F9x251+25x247+01x223+B5x191+8Fx127.
该运算定义在GF(28)上，直接实现同样较为复杂。

还有一种方法，是使用布尔函数对 S 盒进行表达，利用布尔函数进行实现。该方法其实可以看作GF(2)上的表达。On Deviations of the AES S-box when Represented as Vector Valued Boolean Function对 AES 的 S 盒进行了分析，得到其布尔函数表达式，例如，其中第0比特可表示为：

布尔函数非常复杂，直接利用布尔函数表达式也不是一个好的思路。

D.Canright在A Very Compact Rijndael S-box一文中，提出一种实现思路：基于复合域进行实现。文章提出该方法实现在资源有限情况下的该类 S 盒的实现方式，后该方法被用于构造掩码实现（抵抗DPA攻击）和bitslice实现上。本文将对这个方法进行介绍。

2、原理

AES 和 SM4 的 S 盒生成都是基于GF(28)进行构造的，利用逆运算和仿射变换(affine)。仿射变换本身就能表示成逻辑运算，我们重点关注求逆运算。AES 和 SM4 的表达都是基于多项式基，以 AES 的有限域为例，假设A为多项式x8+x4+x3+x+1的根，即A8+A4+A3+A+1=0。那么任何一个元素x可以表示为x=x7A7+x6A6+x5A5+x4A4+x3A3+x2A2+x1A+x0。这种做法是将GF(28)直接看作GF(2)的8次扩域。我们也可以不这么看，将GF(28)看成GF(24)的2次扩域，GF(24)可以进一步看作GF(22)的2次扩域，再进一步GF(22)可以看作GF(2)的2次扩域。而GF(28)的求逆运算，可以通过数学表达式，转换为GF(24)的求逆和一些乘、加操作。这些操作可以进一步向下转化。下面我们详细说明一下。

K=GF(qn)为GF(q)的n次扩域，β 为多项式的根，那么多项式基为{1,β,β2,…,βn−1}，任何一个元素x，可以表示为x=xn−1βn−1+…+x1β+x0，这也是AES 和 SM4 所采用的基表示方式。此外，除了多项式基以外，域的表达方式还可以使用正规基进行表达，正规基为{β,βq,βq2,…,βqn−1}，正规基使用了多项式的全部根。

GF(28)，可以看作GF(24)的2次扩域，也就是在GF(24)上寻找一个不可约二次多项式，r(y)=y2+τy+υ，其中，τ 和 υ 为 GF(24) 的元素。设 Y 为 r(y) 的根，则 GF(28) 元素的多项式基为 Y,1，正规基为Y,Y16。Canright在文章中讨论了多项式基和正规基两种方式，我们这里只看正规基。对于GF(28)的元素 g=γ1Y16+γ0Y，求逆 d=δ1Y16+δ0Y，γi 和 δi 都是GF(24)的元素, gd=1，待定系数求解，可得出

{
δ1=[γ1γ0τ2+(γ21+γ20)υ]−1γ0δ0=[γ1γ0τ2+(γ21+γ20)υ]−1γ1

文内有详细推导方法，不再赘述。观察系数，其达到的效果就是，GF(28)的求逆运算，转化成为GF(24)的乘法、平方和求逆，特别的，可以选择不可约多项式为r(y)=y2+y+υ，也就是 τ 取1来降低求解复杂度，这样，对g=γ1Y16+γ0Y的求逆可简化为如下图：

同样，GF(24)可以看作GF(22)的二次扩域，也就是在GF(22)寻找一个不可约二次多项式，s(z)=z2+Tz+N，设Z 为该多项式的根，取正规基{Z4,Z}。和GF(28)计算方法相同，可计算GF(24)元素υ=Γ1Z4+Γ0Z 的逆为δ=ΔZ4+ΔZ，其中，

也可以取T=1降低复杂度，那么在GF(24)求逆运算如下图所示：

在GF(28)求逆时，也涉及到了GF(24)的乘法。GF(24)的乘法υδ=(Γ1Z4+Γ0Z)(Δ1Z4+Δ0Z)可按照如下公式计算：

如下图：

进一步，GF(22)可以看作GF(2)的二次扩域，在GF(2)上的不可约多项式只有t(ω)=ω2+ω+1,取正规基W2,W，则Γ=g1W2+g0W，逆为Δ=d1W2+d0W，其中，

GF(22)的乘法，ΓΔ=(g1W2+g0W)(d1W2+d0W)，计算如下：

如下图：

将GF(28)进行转化，我们还有一些操作未介绍，包括 υγ2、NΓ2 和 NΓ。这些值可通过选择不同的 υ 和 N 进行简化。文章详细讨论了选取的方法。我们直接给结论：

对于GF(22)，不可约多项式为t(ω)=ω2+ω+1，正规基{W2,W}
对于GF(24)/GF(22)，不可约多项式为s(z)=z2+z+N，N=W2，正规基Z4,Z，N(g1W2+g2W)2=W2(g1W2+g2W)=g1W2+(g1+g0)W
对于GF(28)/GF(24)，不可约多项式为r(y)=y2+y+υ，υ=N2Z，如此，υ(AZ4+BZ)2=(A+B)2Z4+N2B2

复合域下，实际上是以

表示GF(28)的一个元素。
而 S 盒的输入是以多项式基表示进行输入的。要利用复合域进行运算，需要将输入表示进行转换。以线性空间的角度看，这复合域表示相当于是给GF(28)找了一组新基。两组基有如下关系：

找到w2z4y16等在多项式基下的表示，形成矩阵X：

计算X−1，乘以多项式基下的表示即可得到复合域基下的表示。S盒计算完成后，再进行反变换即可。

3、AES S盒实现方法

AES的S盒是定义在GF(28)（不可约多项式x8+x4+x3+x+1），其表达式为S(x)=Ax−1+c，具体如下：

4、求矩阵X和逆

求 X 和 X−1，我们需要计算 w，z 和 y，计算 w2z4y16等一系列系数值。Canright在文章中给出了 GF(28) 生成元 B 的对数表，方便计算。这里我们直接通过搜索进行计算。

from pyfinite import ffieldgen = 0b100011011
F = ffield.FField(8, gen, useLUT=0) # 这里一定要写useLUT=0，不然会出问题。。。def field_pow2(x, F): #计算在F域上的平方return F.Multiply(x, x)def field_pow3(x, F): #计算在F域上的三次方return F.Multiply(x, field_pow2(x, F))def field_pow4(x, F): #计算在F域上的四次方return field_pow2(field_pow2(x, F), F)

首先，搜索GF(22)的正规基{W2,W}，我们求出其在GF(28)下多项式基的表示。

for i in range(256):if field_pow2(i, F)^i^1 == 0: # 搜索 w^2+w+1 = 0的根print(hex(i))

我们可得到，W=0xbd，W2=0xbc（一定要注意，这是GF(28)的多项式基表示）

2. 然后，搜索GF(24)/GF(22)的正规基Z4,Z，我们求出其在GF(28)下多项式基的表示。s(z)=z2+z+N，N=W2=0xbc

for i in range(256):if field_pow2(i, F)^i^0xbc == 0: # 搜索 z^2+z+0xbc = 0的根print(hex(i))

于是我们又得到，Z=0x5c，Z4=0x5d

3. 最后，搜索GF(28)/GF(24)的正规基{Y16,Y}，我们求出其在GF(28)下多项式基的表示。r(y)=y2+y+υ，υ=N2Z

u = F.Multiply(field_pow2(0xbc, F), 0x5c)
for i in range(256):if field_pow2(i, F)^i^0xec == 0: # 搜索 z^2+z+0xbc = 0的根print(hex(i))

于是我们又得到，Y=0xff，Y16=0xfe

w = 0xbd
w_2 = 0xbc
z = 0x5c
z_4 = 0x5d
y = 0xff
y_16 = 0xfe
w_2_z_4_y_16 = F.Multiply(F.Multiply(w_2, z_4), y_16)
w_z_4_y_16 = F.Multiply(F.Multiply(w, z_4), y_16)
w_2_z_y_16 = F.Multiply(F.Multiply(w_2, z), y_16)
w_z_y_16 = F.Multiply(F.Multiply(w, z), y_16)
w_2_z_4_y = F.Multiply(F.Multiply(w_2, z_4), y)
w_z_4_y = F.Multiply(F.Multiply(w, z_4), y)
w_2_z_y = F.Multiply(F.Multiply(w_2, z), y)
w_z_y = F.Multiply(F.Multiply(w, z), y)
print('w_2_z_4_y_16\t', hex(w_2_z_4_y_16))
print('w_z_4_y_16\t', hex(w_z_4_y_16))
print('w_2_z_y_16\t', hex(w_2_z_y_16))
print('w_z_y_16\t', hex(w_z_y_16))
print('w_2_z_4_y\t', hex(w_2_z_4_y))
print('w_z_4_y\t\t', hex(w_z_4_y))
print('w_2_z_y\t\t', hex(w_2_z_y))
print('w_z_y\t\t', hex(w_z_y))

得到多项式基在复合域基下表示如下：

求X−1，可得到复合域基下多项式基的表示：

from pyfinite import genericmatrixXOR = lambda x,y: x^y
AND = lambda x,y: x&y
DIV = lambda x,y: x
m = genericmatrix.GenericMatrix(size=(8, 8),zeroElement=0,identityElement=1,add=XOR,mul=AND,sub=XOR,div=DIV)m.SetRow(0, [0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0])
m.SetRow(1, [1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1])
m.SetRow(2, [1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1])
m.SetRow(3, [0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0])
m.SetRow(4, [0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0])
m.SetRow(5, [1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0])
m.SetRow(6, [0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0])
m.SetRow(7, [0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0])
print(m)print(m.Inverse())

5、具体函数实现

基础函数定义

g2b = [0b10011000, 0b11110011, 0b11110010, 0b01001000, 0b00001001, 0b10000001, 0b10101001, 0b11111111]
b2g = [0b01100100, 0b01111000, 0b01101110, 0b10001100, 0b01101000, 0b00101001, 0b11011110, 0b01100000]def G4_mul(x, y):'''GF(2^2)的乘法运算，正规基{W^2, W}'''a = (x & 0x02)>>1b = x & 0x01c = (y & 0x02)>>1d = y & 0x01e = (a ^ b) & (c ^ d)return (((a & c) ^ e) << 1)|((b & d) ^ e)def G4_mul_N(x):'''GF(2^2)的乘N操作，N = W^2'''a = (x & 0x02)>>1b = x & 0x01p = bq = a ^ breturn (p<<1)|qdef G4_mul_N2(x):'''GF(2^2)的乘N^2操作，N = W^2'''a = (x & 0x02)>>1b = x & 0x01return ((a ^ b)<<1)|adef G4_inv(x):'''GF(2^2)的求逆操作，该操作和GF(2^2)的平方操作等价'''a = (x & 0x02)>>1b = x & 0x01return (b<<1)|adef G16_mul(x, y):'''GF(2^4)的乘法操作，正规基{Z^4, Z}'''a = (x & 0xc)>>2b = x & 0x03c = (y & 0xc)>>2d = y & 0x03e = G4_mul(a ^ b, c ^ d)e = G4_mul_N(e)p = G4_mul(a, c) ^ eq = G4_mul(b, d) ^ ereturn (p<<2) | qdef G16_sq_mul_u(x):'''GF(2^4)的平方后乘u操作, u = N^2Z, N = W^2'''a = (x & 0xc)>>2b = x & 0x03p = G4_inv(a ^ b) # G4平方和求逆等价q = G4_mul_N2(G4_inv(b))return (p<<2)|qdef G16_inv(x):'''GF(2^4)的求逆操作'''a = (x & 0xc)>>2b = x & 0x03c = G4_mul_N(G4_inv(a ^ b))d = G4_mul(a, b)e = G4_inv(c ^ d)p = G4_mul(e, b)q = G4_mul(e, a)return (p<<2)|qdef G256_inv(x):'''GF(2^8)的求逆操作'''a = (x & 0xF0)>>4b = x & 0x0Fc = G16_sq_mul_u(a ^ b)d = G16_mul(a, b)e = G16_inv(c ^ d)p = G16_mul(e, b)q = G16_mul(e, a)return (p<<4)|qdef G256_new_basis(x, b):'''x在新基b下的表示'''y = 0for i in range(8):if x & (1<<(7-i)):y ^= b[i]return y

计算S盒输出值

A = [0b10001111, 0b11000111, 0b11100011, 0b11110001, 0b11111000, 0b01111100, 0b00111110, 0b00011111] #仿射变换矩阵乘def AES_SBOX(x):t = G256_new_basis(x, g2b)t = G256_inv(t)t = G256_new_basis(t, b2g)t = G256_new_basis(t, A) #仿射变换乘return t ^ 0x63sbox = []
for i in range(256):sbox.append(AES_SBOX(i))  # 生成sboxfor i,s in enumerate(sbox):print(f'%02x'%s,', ', end='')if (i+1)%16==0:print()

6、SM4 S盒实现方法

SM4 的 S 盒和 AES 不同，定义在GF(28)采用的不可约多项式为x8+x7+x6+x5+x4+x2+1，生成方式为S(x)=A(Ax+c)−1+c，其中：

7、求矩阵X和逆

不可约多项式不同，X 矩阵也不相同。下面我们为 SM4 求 X 和 X−1，我们需要计算 w，z 和 y，计算 w2z4y16等一系列系数值

from pyfinite import ffieldgen = 0b111110101
F = ffield.FField(8, gen, useLUT=0) # 这里一定要写useLUT=0，不然会出问题。。。

首先，搜索GF(22)的正规基{W2,W}，我们求出其在GF(28)下多项式基的表示。

for i in range(256):if field_pow2(i, F)^i^1 == 0: # 搜索 w^2+w+1 = 0的根print(hex(i))

我们得到，W=0x5d，W2=0x5c（一定要注意，这是GF(28)的多项式基表示）

然后，搜索GF(24)/GF(22)的正规基Z4,Z，我们求出其在GF(28)下多项式基的表示。s(z)=z2+z+N，N=W2=0x5c

for i in range(256):if field_pow2(i, F)^i^0x5c == 0: # 搜索 z^2+z+0x5c = 0的根print(hex(i))

于是我们又得到，Z=0x0c，Z4=0x0d

最后，搜索GF(28)/GF(24)的正规基Y16,Y，我们求出其在GF(28)下多项式基的表示。r(y)=y2+y+υ，υ=N2Z

u = F.Multiply(field_pow2(0x5c, F), 0x0c)
for i in range(256):if field_pow2(i, F)^i^0x76 == 0: # 搜索 z^2+z+0x76 = 0的根print(hex(i))

于是我们又得到，Y=0xef，Y16=0xee

w = 0x5d
w_2 = 0x5c
z = 0x0c
z_4 = 0x0d
y = 0xef
y_16 = 0xee
w_2_z_4_y_16 = F.Multiply(F.Multiply(w_2, z_4), y_16)
w_z_4_y_16 = F.Multiply(F.Multiply(w, z_4), y_16)
w_2_z_y_16 = F.Multiply(F.Multiply(w_2, z), y_16)
w_z_y_16 = F.Multiply(F.Multiply(w, z), y_16)
w_2_z_4_y = F.Multiply(F.Multiply(w_2, z_4), y)
w_z_4_y = F.Multiply(F.Multiply(w, z_4), y)
w_2_z_y = F.Multiply(F.Multiply(w_2, z), y)
w_z_y = F.Multiply(F.Multiply(w, z), y)print('w_2_z_4_y_16\t', hex(w_2_z_4_y_16))
print('w_z_4_y_16\t', hex(w_z_4_y_16))
print('w_2_z_y_16\t', hex(w_2_z_y_16))
print('w_z_y_16\t', hex(w_z_y_16))
print('w_2_z_4_y\t', hex(w_2_z_4_y))
print('w_z_4_y\t\t', hex(w_z_4_y))
print('w_2_z_y\t\t', hex(w_2_z_y))
print('w_z_y\t\t', hex(w_z_y))

得到多项式基在复合域基下表示如下：

求X−1，可得到复合域基下多项式基的表示：

from pyfinite import genericmatrixXOR = lambda x,y: x^y
AND = lambda x,y: x&y
DIV = lambda x,y: x
m = genericmatrix.GenericMatrix(size=(8, 8),zeroElement=0,identityElement=1,add=XOR,mul=AND,sub=XOR,div=DIV)m.SetRow(0, [1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1])
m.SetRow(1, [1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1])
m.SetRow(2, [1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0])
m.SetRow(3, [1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1])
m.SetRow(4, [0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0])
m.SetRow(5, [1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1])
m.SetRow(6, [0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0])
m.SetRow(7, [0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0])
print(m)
print(m.Inverse())

8、具体函数实现

基础函数定义

SM4 和 AES 采用的复合域结构相同，其基础函数也相同。仅定义X矩阵即可。

g2b = [0b00100001, 0b11010011, 0b10000001, 0b01001010, 0b10001010, 0b10111001, 0b10110000, 0b11111111]
b2g = [0xf4, 0xec, 0x54, 0xa2, 0xd2, 0xc7, 0x2e, 0xd4]

计算S盒输出值

A = [0b11100101, 0b11110010, 0b01111001, 0b10111100, 0b01011110, 0b00101111, 0b10010111, 0b11001011]
def SM4_SBOX(x):t = G256_new_basis(x, A)t ^= 0xd3t = G256_new_basis(t, g2b)t = G256_inv(t)t = G256_new_basis(t, b2g)t = G256_new_basis(t, A) #仿射变换乘return t ^ 0xd3sbox = []
for i in range(256):sbox.append(SM4_SBOX(i))  # 生成sboxfor i,s in enumerate(sbox):print(f'%02x'%s,', ', end='')if (i+1)%16==0:print()

9、推广结论

通过 AES 和 SM4 的 S 盒复合域实现，我们不难发现，在复合域上，AES 和 SM4 的求逆运算过程相同，而除此之外，其他操作都是线性的仿射变换。那么我们能不能通过 AES 的 S 盒计算 SM4 的 S 盒输出呢？也就是，

Ssm4(x)=L(Saes(Mx+C1))+C2，下面我们尝试进行推导。

假设复合域求逆运算为f，则

由此得出：
Ssm4(x)=Asm4Xsm4f(X−1sm4(Asm4x+0xd3))+0xd3⇒Ssm4(x)=Asm4Xsm4X−1aesA−1aes(Saes(Xaes(X−1sm4(Asm4x+0xd3)))+0x63)+0xd3
由此可得出，

M=XaesX−1sm4Asm4C1=XaesX−1sm40xd3L=Asm4Xsm4X−1aesA−1aesC2=Asm4Xsm4X−1aesA−1aes0x63+0xd3

XOR = lambda x,y: x^y
AND = lambda x,y: x&y
DIV = lambda x,y: x
X_aes = genericmatrix.GenericMatrix(size=(8, 8),zeroElement=0,identityElement=1,add=XOR,mul=AND,sub=XOR,div=DIV)
X_sm4 = genericmatrix.GenericMatrix(size=(8, 8),zeroElement=0,identityElement=1,add=XOR,mul=AND,sub=XOR,div=DIV)
A_aes = genericmatrix.GenericMatrix(size=(8, 8),zeroElement=0,identityElement=1,add=XOR,mul=AND,sub=XOR,div=DIV)
A_sm4 = genericmatrix.GenericMatrix(size=(8, 8),zeroElement=0,identityElement=1,add=XOR,mul=AND,sub=XOR,div=DIV)
c_aes = genericmatrix.GenericMatrix(size=(8, 1),zeroElement=0,identityElement=1,add=XOR,mul=AND,sub=XOR,div=DIV)
c_sm4 = genericmatrix.GenericMatrix(size=(8, 1),zeroElement=0,identityElement=1,add=XOR,mul=AND,sub=XOR,div=DIV)X_aes.SetRow(0, [0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0])
X_aes.SetRow(1, [1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1])
X_aes.SetRow(2, [1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1])
X_aes.SetRow(3, [0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0])
X_aes.SetRow(4, [0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0])
X_aes.SetRow(5, [1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0])
X_aes.SetRow(6, [0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0])
X_aes.SetRow(7, [0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0])
print(X_aes)X_aes_inv = X_aes.Inverse()
X_aes_invX_sm4.SetRow(0, [1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1])
X_sm4.SetRow(1, [1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1])
X_sm4.SetRow(2, [1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0])
X_sm4.SetRow(3, [1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1])
X_sm4.SetRow(4, [0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0])
X_sm4.SetRow(5, [1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1])
X_sm4.SetRow(6, [0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0])
X_sm4.SetRow(7, [0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0])
print(X_sm4)X_sm4_inv = X_sm4.Inverse()
X_sm4_invA_aes.SetRow(0, [1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0])
A_aes.SetRow(1, [0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0])
A_aes.SetRow(2, [0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0])
A_aes.SetRow(3, [0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1])
A_aes.SetRow(4, [1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1])
A_aes.SetRow(5, [1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1])
A_aes.SetRow(6, [1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1])
A_aes.SetRow(7, [1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1])
print(A_aes)A_aes_inv = A_aes.Inverse()A_sm4.SetRow(0, [1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1])
A_sm4.SetRow(1, [1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1])
A_sm4.SetRow(2, [1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0])
A_sm4.SetRow(3, [0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0])
A_sm4.SetRow(4, [0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1])
A_sm4.SetRow(5, [1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0])
A_sm4.SetRow(6, [0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1])
A_sm4.SetRow(7, [1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1])
print(A_sm4)A_sm4_inv = A_sm4.Inverse()M = X_aes*X_sm4_inv*A_sm4
print(M)A = [0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1]
for i in range(8):c_aes.SetRow(i, [A[i]])
print(c_aes)A = [1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1]
for i in range(8):c_sm4.SetRow(i, [A[i]])
print(c_sm4)C1 = X_aes*(X_sm4_inv*c_sm4)
print(C1)L = A_sm4*X_sm4*X_aes_inv*A_aes_inv
print(L)

因此，

可以进行程序验证如下：

L = [0b10100101, 0b11001101, 0b11100000, 0b10100100, 0b10010100, 0b01100100, 0b10010000, 0b00001111]
M = [0b10101011, 0b01101100, 0b00110111, 0b10011000, 0b00111010, 0b11011111, 0b11001001, 0b01110101]
c1 = 0x69
c2 = 0x61SBOX_AES = [0x63 , 0x7c , 0x77 , 0x7b , 0xf2 , 0x6b , 0x6f , 0xc5 , 0x30 , 0x01 , 0x67 , 0x2b , 0xfe , 0xd7 , 0xab , 0x76 ,
0xca , 0x82 , 0xc9 , 0x7d , 0xfa , 0x59 , 0x47 , 0xf0 , 0xad , 0xd4 , 0xa2 , 0xaf , 0x9c , 0xa4 , 0x72 , 0xc0 ,
0xb7 , 0xfd , 0x93 , 0x26 , 0x36 , 0x3f , 0xf7 , 0xcc , 0x34 , 0xa5 , 0xe5 , 0xf1 , 0x71 , 0xd8 , 0x31 , 0x15 ,
0x04 , 0xc7 , 0x23 , 0xc3 , 0x18 , 0x96 , 0x05 , 0x9a , 0x07 , 0x12 , 0x80 , 0xe2 , 0xeb , 0x27 , 0xb2 , 0x75 ,
0x09 , 0x83 , 0x2c , 0x1a , 0x1b , 0x6e , 0x5a , 0xa0 , 0x52 , 0x3b , 0xd6 , 0xb3 , 0x29 , 0xe3 , 0x2f , 0x84 ,
0x53 , 0xd1 , 0x00 , 0xed , 0x20 , 0xfc , 0xb1 , 0x5b , 0x6a , 0xcb , 0xbe , 0x39 , 0x4a , 0x4c , 0x58 , 0xcf ,
0xd0 , 0xef , 0xaa , 0xfb , 0x43 , 0x4d , 0x33 , 0x85 , 0x45 , 0xf9 , 0x02 , 0x7f , 0x50 , 0x3c , 0x9f , 0xa8 ,
0x51 , 0xa3 , 0x40 , 0x8f , 0x92 , 0x9d , 0x38 , 0xf5 , 0xbc , 0xb6 , 0xda , 0x21 , 0x10 , 0xff , 0xf3 , 0xd2 ,
0xcd , 0x0c , 0x13 , 0xec , 0x5f , 0x97 , 0x44 , 0x17 , 0xc4 , 0xa7 , 0x7e , 0x3d , 0x64 , 0x5d , 0x19 , 0x73 ,
0x60 , 0x81 , 0x4f , 0xdc , 0x22 , 0x2a , 0x90 , 0x88 , 0x46 , 0xee , 0xb8 , 0x14 , 0xde , 0x5e , 0x0b , 0xdb ,
0xe0 , 0x32 , 0x3a , 0x0a , 0x49 , 0x06 , 0x24 , 0x5c , 0xc2 , 0xd3 , 0xac , 0x62 , 0x91 , 0x95 , 0xe4 , 0x79 ,
0xe7 , 0xc8 , 0x37 , 0x6d , 0x8d , 0xd5 , 0x4e , 0xa9 , 0x6c , 0x56 , 0xf4 , 0xea , 0x65 , 0x7a , 0xae , 0x08 ,
0xba , 0x78 , 0x25 , 0x2e , 0x1c , 0xa6 , 0xb4 , 0xc6 , 0xe8 , 0xdd , 0x74 , 0x1f , 0x4b , 0xbd , 0x8b , 0x8a ,
0x70 , 0x3e , 0xb5 , 0x66 , 0x48 , 0x03 , 0xf6 , 0x0e , 0x61 , 0x35 , 0x57 , 0xb9 , 0x86 , 0xc1 , 0x1d , 0x9e ,
0xe1 , 0xf8 , 0x98 , 0x11 , 0x69 , 0xd9 , 0x8e , 0x94 , 0x9b , 0x1e , 0x87 , 0xe9 , 0xce , 0x55 , 0x28 , 0xdf ,
0x8c , 0xa1 , 0x89 , 0x0d , 0xbf , 0xe6 , 0x42 , 0x68 , 0x41 , 0x99 , 0x2d , 0x0f , 0xb0 , 0x54 , 0xbb , 0x16]def SM4_SBOX_CALC_WITH_AES(x):t = G256_new_basis(x, M)t ^= c1t = SBOX_AES[t]t = G256_new_basis(t, L)t ^= c2return tsbox = []
for i in range(256):sbox.append(SM4_SBOX_CALC_WITH_AES(i))  # 生成sboxfor i,s in enumerate(sbox):print(f'%02x'%s,', ', end='')if (i+1)%16==0:print()

10、总结

对 AES 和 SM4 来说，我们都可以把仿射变换和基变换操作的矩阵乘结合起来，简化对应的计算过程，从而减少运算。利用这一思想，我们可以对 AES 和 SM4 的 bit直接进行逻辑运算，避免查表操作。在硬件实现时，可利用该方法构造资源非常受限情况下的S盒实现。在软件上，该方法在抵抗cache攻击方面有效果，同时，我们可以使用bitslice并行技术进行加速。

此外，SM4 的 S 盒可由 AES 表示得出，这一点在 CPU 有 AES 的指令集时，可将 SM4 的 S 盒运算转化为 AES 的 S 盒运算进行加速。

（点击阅读原文显示文中公式）

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