Gauss定理：n为平方和等价于n的任一4k+3型素因子的幂次为偶数

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<title>高斯定理</title>
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<H1><font color=000000 size=7>Gauss定理
<br>n为平方和等价于n的任一4k+3型素因子的幂次为偶数</H1>
<H2><font color=40e0d0 size=6>引理1 设p≡3（mod4），则x<sup>2</sup>≡－1（mod p）无解</H2>
<pre>证：反设x<sup>2</sup>≡－1（mod p） ，则x<sup>p-1</sup>≡(-1)<sup>(p-1)/2</sup>(modP),
所以，1≡-1(<a href="http://baike.baidu.com/view/263807.htm">费马小定理</a>），矛盾！</pre>
<H2><font color=pink size=6>引理2，设p≡3（mod4） ,p|n,n=x<sup>2</sup>+y<sup>2</sup>,则n中p的幂次为偶数</H2>
<pre>证：若p<STRIKE>|</STRIKE>x,则0≡x<sup>-2</sup>n≡1+x<sup>-2</sup>y<sup>2</sup>(mod p),矛盾！
∴p|x且p|y
设p<sup>a</sup>||(x,y),则p<sup>2a</sup>|n,
设n=p<sup>2a</sup>n<sub>1</sub>,x=p<sup>a</sup>x<sub>1</sub>,y=p<sup>a</sup>y<sub>1</sub>
则n<sub>1</sub>=x<sub>1</sub><sup>2</sup>+y<sub>1</sub><sup>2</sup>
若p|n<sub>1</sub>，同上可得，p|x<sub>1</sub>且p|y<sub>1</sub>，矛盾！
∴p<STRIKE>|</STRIKE>n<sub>1</sub>,即n中p的幂次为2a为偶数
</pre>
<H2><font color=999999 size=6>小结，若n为平方和，则n的任一4k+3型素因子的幂次为偶数</H2>
<h2><font color=808033 size=6>引理3，任意多个平方和的乘积为平方和</h2>
证：（x<sup>2</sup>+y<sup>2</sup>）（x<sub>1</sub><sup>2</sup>+y<sub>1</sub><sup>2</sup>）=(xx<sub>1</sub>+yy<sub>1</sub>)<sup>2</sup>+(xy<sub>1</sub>-x<sub>1</sub>y)<sup>2</sup>
<h2><font color=b22222 size=6>引理4，设p≡1（mod4),则存在x,y,p=x<sup>2</sup>+y<sup>2</sup></h2>
<pre>证：(p-1)!≡(1*2*3...*((p-1)/2)）<sup>2</sup>≡-1(mod p)(<a href="http://baike.so.com/doc/6709456.html">威尔逊定理</a>）
∴存在x,y,x<sup>2</sup>+y<sup>2</sup>=m<sub>1</sub>p,0&ltm<sub>1</sub>&ltp
若m<sub>1</sub>>1,设x≡x<sub>1</sub>(mod m≡<sub>1</sub>),y≡y<sub>1</sub>(mod m≡m<sub>1</sub>),-m<sub>1</sub>/<sub>2</sub>&ltx<sub>1</sub>&lt=m<sub>1</sub>/<sub>2</sub>,-m<sub>1</sub>/<sub>2</sub>&lty<sub>1</sub>&lt=m<sub>1</sub>/<sub>2</sub>
x<sub>1</sub><sup>2</sup>+y<sub>1</sub><sup>2</sup>≡x<sup>2</sup>+y<sup>2</sup>≡0(mod m<sub>1</sub>)
设x<sub>1</sub><sup>2</sup>+y<sub>1</sub><sup>2</sup>=m<sub>1</sub>m<sub>2</sub>&lt=(m<sub>1</sub>/<sub>2</sub>)<sup>2</sup>*2&ltm<sub>1</sub><sup>2</sup>,则0&ltm<sub>2</sub>&ltm<sub>1</sub>
m<sub>1</sub>p*m<sub>1</sub>m<sub>2</sub>=(x<sup>2</sup>+y<sup>2</sup>)*(x<sub>1</sub><sup>2</sup>+y<sub>1</sub><sup>2</sup>)=(xx<sub>1</sub>+yy<sub>1</sub>)<sup>2</sup>+(xy<sub>1</sub>-x<sub>1</sub>y)<sup>2</sup>
∴设x<sub>2</sub>=（xx<sub>1</sub>+yy<sub>1</sub>)/m<sub>1</sub>,y<sub>2</sub>=(xy<sub>1</sub>-x<sub>1</sub>y)/m<sub>1</sub>有x<sub>2</sub><sup>2</sup>+y<sub>2</sub><sup>2</sup>=m<sub>2</sub>p
则m<sub>1</sub>降为了m<sub>2</sub>
无穷递降可得，存在x,y,x<sup>2</sup>+y<sup>2</sup>=p
<font color=012930>∴若n的任一4k+3型素因子的幂次为偶数，则n为平方和的乘积，也就为平方和
<font color=000000><b>证毕<b>
</pre>
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