电场线和电通量

法拉第想出一种形象化的方法描述电场——电场线，电场线上每一点的切线方向表示该点电场的方向，电场线的疏密表示电场的大小。下面为几种带电体系的电场线。

图为点电荷的电场线

图为一对等量异号电荷的电场线

图为一对等量同号电荷的电场线

一对不等量异号电荷的电场线

带电平行板之间的电场线

定量上表示某点场强的大小，可以在这一点做一个与电场线垂直的小面元\(\mathrm dS_{\perp}\)，如图1所示，通过此小面元的电场线数目为\(\mathrm dN\)，则电场的大小为：

\begin{equation*} E=C\frac{\mathrm dN}{\mathrm dS_{\perp}}=\frac{\mathrm d\Phi_E}{\mathrm dS_{\perp}} \end{equation*}

图1 在电场中某一点取面元

由上式得，

\begin{equation*} \mathrm d\Phi_E=E\mathrm dS_{\perp} \end{equation*}

这个量我们称为电通量，表示通过与电场方向垂直的一个面元的电场线的数目。

对于一个一般的面元，也可以定义电通量，如图2所示，面元 \(\mathrm dS\)与电场方向不垂直。由图2明显看出，通过面元\(\mathrm dS\)的电场线数目与通过面元\(\mathrm dS_{\perp}\)的数目是一样的，即

\begin{equation*} \mathrm d\Phi_E=E\mathrm dS_{\perp}=E\mathrm dS\cos\theta \end{equation*}

图2 通过面元 \(\mathrm dS\) 的电通量

你也可以把电场分解成两部分，垂直于面元的电场\(\vec{E}\_{\perp}\)和平行于面元的电场\(\vec{E}\_{\parallel}\)，后者通过面元的电通量为0，所以电场\(\vec{E}\)通过面元的电通量即电场\(\vec{E}\_{\perp}\)通过面元的电通量，即

\begin{equation*} \mathrm d\Phi_E=\mathrm d\Phi_{E_{\perp}}=E\cos\theta\mathrm dS=\vec{E}\cdot\hat{n}\mathrm dS=\vec{E}\cdot\mathrm d\vec{S} \end{equation*}

其中，\(\hat{n}\)为面元的法向单位向量，面元用矢量面元表示，\(d\vec{S}=\hat{n}\mathrm dS\)。上式就是电通量的定义式

\begin{equation*} \mathrm d\Phi_E=\vec{E}\cdot\mathrm d\vec{S} \end{equation*}

由上式可见，电通量可正可负可为零，符号由电场\(\vec{E}\)的方向与面元法向的夹角 \(\theta\) 决定，如图3所示。

图3 电场 \(\vec{E}\) 的方向与面元法向 \(\hat{n}\) 的夹角 \(\theta\)

要求出电场通过一个一般曲面\(S\)的电通量，需要把曲面分割成许许多多的小面元，求出每个小面元的电通量，然后积分，即：

\begin{equation*} \Phi_E=\int\mathrm d\Phi_E=\int_S\vec{E}\cdot\mathrm d\vec{S} \end{equation*}

图4 电场通过一个一般曲面\(S\)的电通量

电场通过一个闭合曲面\(S\)的电通量为：

\begin{equation*} \Phi_E=\int\mathrm d\Phi_E=\oint_S\vec{E}\cdot\mathrm d\vec{S} \end{equation*}

对于不闭合的曲面，法向矢量的正方向可以任意选取，但是闭合曲面把空间分成内外两个部分，法向矢量正方向的两种取向不等价。我们约定闭合曲面的法向矢量的正方向是指向曲面外部的方向。如图5所示，在面元\(\mathrm d\vec{S}\_1\)处，\(\mathrm d\Phi\_E>0\)，电场线从闭合曲面穿出到外部空间。在面元\(\mathrm d\vec{S}\_2\)处，\(\mathrm d\Phi\_E<0\)，电场线从外部穿入闭合曲面内部空间。那么\(\Phi\_E\)就是净穿出闭合曲面的电场线的数目。

图5 电场通过一个闭合曲面\(S\)的电通量

练习1 匀强电场\(\vec{E}\) 里一个半径为\(r\)小圆盘，圆盘法向\(\hat{n}\)与电场方向夹角为\(30^{\circ}\)，求通过圆盘的电通量。如果 \(\hat{n}\perp \vec{E}\)，电通量为多少，如果 \(\hat{n}\parallel \vec{E}\)，电通量为多少。

练习1 的图

练习2 非匀强电场\(\vec{E}=3x\hat{i}+4\hat{j}\)，电场线穿过一个立方体，如图所示，求电场线穿过此立方体表面的电通量。

练习2 的图

练习3 以点电荷\(q\)为中心做以半径为\(r\)的球面，求点电荷\(q\)的电场穿过球面的电通量。

练习3 的图

高斯定理

高斯定理与库仑定律等价，高斯定理是描述电荷与电场关系的另外一种方法。高斯定理以其提出者德国数学家高斯的名字命名（1835年提出，1867年发表，发表的时候高斯已经去世12年了）。

点电荷\(q\)的电场穿过以其为中心的球面的电通量为

\begin{equation*} \begin{split} \Phi_E=& \oint_S \vec{E}\cdot\mathrm d\vec{S}=\oint_S\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\hat{r}\cdot\mathrm d\vec{S}=\oint_S\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\mathrm dS \\ =&\int\int\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r^2}r^2\sin\theta\mathrm d \theta \mathrm d\phi=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\int_0^{\pi}\sin\theta\mathrm d \theta \int_0^{2\pi} \mathrm d\phi \\ =&\frac{q}{\varepsilon_0} \end{split} \end{equation*}

其中，球面上面积元\(\mathrm dS=r^2\sin\theta\mathrm d \theta \mathrm d\phi\)，如下图所示。

图为球面上的面积元

这个结果与球面半径无关，只与球心的电荷量有关。这意味着，对以点电荷\(q\) 为球心的任意球面来说，通过它们的电通量都相等，为\(q/\varepsilon_0\)，用电场线的图像来说，通过各球面的电场线的条数都相等，也就是说，从点电荷 \(q\) 发出的电场线连续地延伸到无限远处，中间电场线不中断，也不突然增加电场线。

现在设想点电荷在任意闭合曲面\(S'\)内，\(S'\)面与球面 \(S\) 包围同一个点电荷 \(q\)，如图6所示，由于电场线的连续性，则通过\(S'\)面与球面 \(S\)的电场线的数目是一样的。因此通过任意形状的包围点电荷 \(q\) 的闭合曲面的电通量都相等，为\(q/\varepsilon_0\)。

图6 通过包围 \(q\) 的任意闭合曲面的电通量

如果闭合曲面\(S'\)没有包围点电荷 \(q\)，如图7所示，由电场线的连续性可知，电场线从一侧进入\(S'\)，一定会从另一侧穿出\(S'\)，即净穿过\(S'\)的电通量为零。

图7 通过不包围 \(q\) 的任意闭合曲面的电通量

以上讨论的是单个点电荷的电场，现在考虑一个点电荷系，组成电荷为\(q_1,q_2,q_3,\dots,q_n\)，在空间产生的电场为：

\begin{equation*} \vec{E}=\vec{E}_1+\vec{E}_2+\dots+\vec{E}_n=\sum_{i=1}^n\vec{E}_i \end{equation*}

其中 \(\vec{E}\_i\) 为点电荷 \(q\_i\) 产生的电场。这个点电荷系的电场 \(\vec{E}\)通过某任意封闭曲面的电通量为：

\begin{equation*} \Phi_E=\oint_S\vec{E}\cdot\mathrm d \vec{S} =\oint_S \left (\sum_{i=1}^n\vec{E}_i \right )\cdot\mathrm d \vec{S}=\sum_{i=1}^n\oint_S\vec{E}_i\cdot\mathrm d \vec{S} =\sum_{i=1}^n\Phi_{Ei} \end{equation*}

如果电荷 \(q_i\) 被封闭在曲面\(S\)内部，则\(\Phi_{Ei}=q_i/\varepsilon_0\)，如果电荷 \(q_i\) 在曲面\(S\)外部，则\(\Phi_{Ei}=0\)，所以上式的结果为：

\begin{equation*} \Phi_E =\oint_S\vec{E}\cdot\mathrm d \vec{S}=\frac{1}{\varepsilon_0}\sum_{i\in S}q_i=\frac{q_{内}}{\varepsilon_0} \end{equation*}

此即为高斯定理：真空中的任何静电场中,穿过任一闭合曲面的电通量,等于该曲面所包围的电荷电量的代数和乘以 \(1/\varepsilon_0\)。闭合曲面可能是也可能不是实际物理对象，只是为了应用高斯定理，因此也称为高斯面。

对于高斯定理要注意两点：(1) 闭合曲面处的电场\(\vec{E}\) 是所有电荷产生的，包括曲面外的电荷。(2)仅闭合曲面内的电荷对高斯面的电场强度通量有贡献。

练习4 如图为电偶极子的电场线，分别求出通过A、B、C、D 四个闭合曲面的电通量。

利用立体角概念可以对高斯定理做严格证明，详见赵凯华《电磁学》。

参考资料：

• 张三慧《电磁学》
• Chapter 4 of Electricity, Magnetism, and Light
• Young and Freedman, University Physics 13th Ed