高等代数–线性变换

声明：本篇文章内容主要对《高等代数》第三版第七章内容的总结，复习
说明：这块的定理看起来是哪个意思，但是证明起来还是比较困难的，只有真的理解它的证明，明白每个定理在这块真正的含义，在整章节这个体系中的作用，才能更好的运用他们。

线性变换的定义

性质： 线性空间V到自身的映射通常称为V的一个变换。

即线性变换保持向量的加法和数量乘法。

3.线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组.
4.同构还可以把线性无关的向量组变成线性无关的向量组。

线性变换的运算

注意：
1.有限个线性变换的乘积还是线性变换。
2.线性变换的乘积也是线性变换，
乘积一般满足结合律，不满足交换律。
3.线性变换的和还是线性变换
性质： 线性空间V上全体线性变换,对于如上定义的加法与数量乘法,也构成数域P上一个线性空间。

注意：
1.线性变换σ可以当且仅当线性变换σ是一一对应的。(双射)
2.设α₁，α₂，…α_n是线性空间V的一组基，σ为V的线性变换，则σ可逆当且仅当σ(α₁),σ(α₂),…σ(α_n)线性无关。
3.可逆的线性变换把线性无关的向量组变成线性无关的向量组。

注意： 同一个线性变换的多项式的乘法是可交换的。

线性变换的矩阵

可以这样说：一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定的。

在取定一组基之后,我们就建立了由数域P上的n维线性空间V的线性变换到数域P上的n×n矩阵的一个映射.前面的结论1说明这个映射是单射,结论2说明这个映射是满射. 换句话说,我们在这二者之间建立了一个双射.这个对应的重要性表现在它保持运算，
备注： 这里的双射指的是对于任意变换，在一组确定的基下，都有唯一的矩阵与之对应。反之亦然。

重点：定理2的几条性质需要重点理解一下，特别是是定理4，应该把这部分的重点都体现了出来。

特征值与特征向量

备注： 特征向量不是被特征值唯一决定的，相反，特征值是被特征向量唯一决定的。

对角矩阵

线性变换的值域与核

线性变换的值域与核都是V的子空间。

推论： 对于有限维线性空间的线性变换,它是单射的充分必要条件为它是满射。

不变子空间

注意：需要重点考虑一下不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系，这应该是不变子空间最主要的目的了吧。

若尔当标准型介绍

最小多项式

根据哈密尔顿一凯菜定理,任给数域P上一个n级矩阵A,总可找到数域P上一个多项式f(x),使f(A)=0.如果多项式f(x)使f(A)=0,我们就称f(x)以A为根.当然,以A为根的多项式是很多的,其中次数最低的首项系数为1的以A为根的多项式称为A的最小多项式。
引理1：矩阵A的最小多项式是唯一的。
引理2：设g(x)是矩阵A的最小多项式,那么f(x)以A为根的充分必要条件是g(x)整除f(x)
注意：相似矩阵有相同的最小多项式。
引理3：

证明：理解的不是太清楚，需要再详细看看。
注意：最小公倍式和最大公因式的表示。

定理15：数域P上n级矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件为A的最小多项式是P上互素的一次因式的乘积
推论：复数矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A的最小多项式没有重根

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参考书籍：《高等代数》第三版王萼芳石生明修订高等教育出版社