作者：谢启鸿（复旦大学数学学院  教授、博士生导师）

高等代数是大学数学系本科生最重要的基础课之一, 而考试命题工作又是整个教学过程中必不可少的关键环节. 如何做好高等代数的考试命题工作, 使得学生既能快乐考试, 同时考试结果又能真实地反馈学习情况和教学情况呢? 关于这一问题, 作者已在文 [3] 中进行了初步的探索, 而本文正是这一探索的深入与继续.

复旦大学高等代数期中、期末考试试卷根据考察的内容可分为两大部分, 一是以考察基本概念的理解和基本计算的掌握为主体的选择题、填空题和计算题, 这部分大概占 70 分; 二是以考察重要理论、定理、方法和技巧的运用为主体的证明题, 这部分大概占 30 分. 从命题的角度来看, 基础部分的命题可变度较小, 相对来说比较稳定; 而运用部分由于难度大、涉及面广, 从而其命题的难度更大、灵活性更强. 因此, 本文主要阐述复旦大学数学科学学院代数组在高等代数期中、期末考试最后两道压轴题命题方面的相关经验.

复旦大学高等代数教材 [1] 和学习指导书 [2] 在复旦大学数学系 (后成立数学学院) 沿用近二十年, 前后经历三版, 精益求精、与时俱进, 连续荣获普通高等教育``十五''、``十一五''和``十二五''国家级规划教材, 在全国高等代数教材和学习指导书中亦属出类拔萃之作. 紧紧依靠复旦的教材和学习指导书, 不仅是课堂教学的基本要求, 也是考试命题的出发点. 我们在高等代数考试压轴题命题方面的经验是, 以复旦教材和学习指导书中丰富的习题作为命题的坚实基础, 强调``以科研指导命题''、``教学与命题相互促进''和``坚持自主创新命题''等原则, 并以``自然延伸''、``适当推广''、``逆向思维''和``直接应用''等方法进行高等代数的考试命题工作. 本文将以 2010 年至 2015 年复旦大学高等代数期中、期末考试试题以及每周一题 [4] 等为例题, 具体地阐述上述四种命题方法.

一、习题的自然延伸

我们经常考虑的问题是, 在教材习题相同的条件下, 哪些性质或结论可以得到自然的延伸呢? 从某种意义上说, 习题的自然延伸是最常见的命题方法之一.

例 1 (2014 级高等代数 II 期中考试第六大题)  设 $a_i\,(i=1,\cdots,n)$ 都是实数且 $a_1+a_2+\cdots+a_n=0$, 证明下列矩阵可对角化:
$$A=\begin{pmatrix} a_1^2+1 & a_1a_2+1 & \cdots & a_1a_n+1\\a_2a_1+1 & a_2^2+1 & \cdots & a_2a_n+1\\\vdots & \vdots & & \vdots\\a_na_1+1 & a_na_2+1 & \cdots & a_n^2+1\\\end{pmatrix}.$$

评注  教材 [1] 复习题六的第 11 题是在相同的假设下求 $A$ 的全体特征值, 而这道试题自然地延伸为证明 $A$ 可对角化.

例 2 (2011 级高等代数 II 期末考试第七大题)  设 $A$ 为 $n$ 阶复方阵, $B=\begin{pmatrix} A & A^2 \\ A^2 & A \end{pmatrix}$ 为 $2n$ 阶复方阵. 证明: 若 $A$ 可对角化, 则 $B$ 也可对角化.

评注  教材 [1] 复习题六的第 13 题是在相同的假设下, 由 $A$ 的全体特征值求 $B$ 的全体特征值, 而这道试题自然地延伸为由 $A$ 的可对角化证明 $B$ 的可对角化.

例 3 (2015 级高等代数 II 期末考试第七大题)  设 $A,B,C$ 分别为 $m\times m$, $n\times n$, $m\times n$ 阶复矩阵, $M= \begin{pmatrix} A & C\\ 0 & B\\ \end{pmatrix}$ 可对角化, 求证: 矩阵方程 $AX-XB=C$ 必有解.

评注  学习指导书 [2] 的例 6.45 是在相同的假设下证明 $A,B$ 均可对角化, 而这道试题自然地延伸为证明对应的矩阵方程有解.

例 4 (2012 级高等代数 II 期末考试第七大题)  设 $A$ 为 $n$ 阶实对称阵, $S$ 为 $n$ 阶非异的实反对称阵且 $AS=SA$, 证明: $|A+S|>0$.

评注  教材 [1] 复习题八的第 26 题是把非异的条件加在 $A$ 上 (其他假设不变) 证明 $|A+S|\neq 0$, 而这道试题自然地延伸为, 若非异的条件加在 $S$ 上, 证明类似的结论也成立.

例 5 (2015 级高等代数 II 期中考试第六大题)  设 $\varphi$ 是数域 $K$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换, 其极小多项式为 $m(\lambda)$. 设 $\alpha$ 是 $V$ 中非零向量, 由 $\{\alpha,\varphi(\alpha),\varphi^2(\alpha),\cdots\}$ 张成的子空间 $C(\varphi,\alpha)$ 称为 $\varphi$ 关于循环向量 $\alpha$ 的循环子空间. 证明: $m(\lambda)$ 为 $K$ 上的不可约多项式的充分必要条件是 $V$ 的任一非零 $\varphi$-不变子空间 $U$ 必为如下形式: $U=C(\varphi,\alpha_1)\oplus C(\varphi,\alpha_2)\oplus\cdots\oplus C(\varphi,\alpha_k)$,
并且 $\varphi|_{C(\varphi,\alpha_i)}\,(1\leq i\leq k)$ 的极小多项式都是 $m(\lambda)$.

评注  线性变换 $\varphi$ 的特征多项式 $f(\lambda)$ 是 $K$ 上不可约多项式的充分必要条件是 $\varphi$ 只有平凡的不变子空间, 这是一道考研试题, 而上述试题自然地延伸为证明 $\varphi$ 的极小多项式 $m(\lambda)$ 是 $K$ 上不可约多项式的充分必要条件.

二、习题的适当推广

将教材习题中的某些条件适当地一般化 (弱化), 从而得到原习题结论的推广, 这也是最常见的命题方法之一.

例 6 (2014 级高等代数 II 每周一题第 3 题)  设 $g(x)=x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n$ 是数域 $K$ 上的多项式, $\varphi$ 是 $K$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换, $\alpha_1\neq 0,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 是 $V$ 中的向量, 满足 $$\varphi(\alpha_1)=\alpha_2,\,\varphi(\alpha_2)=\alpha_3,\,\cdots,\,\varphi(\alpha_{n-1})=\alpha_n,\,\varphi(\alpha_n)=-a_n\alpha_1-a_{n-1}\alpha_2-\cdots-a_1\alpha_n.$$ 证明: 若 $g(x)$ 在 $K$ 上不可约, 则 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 是 $V$ 的一组基.

评注  教材 [1] 复习题四的第 14 题是上述试题的特例, 其中 $g(x)=x^3-x-1$.

例 7 (2015 级高等代数 I 期末考试第八大题)  设 $\varphi$ 是数域 $K$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换, 其特征多项式 $f(\lambda)=P_1(\lambda)P_2(\lambda)\cdots P_k(\lambda)$, 其中 $P_i(\lambda)$ 是 $K$ 上互异的首一不可约多项式, 试求所有的 $\varphi$-不变子空间.

评注  教材 [1] 的习题 4.5.6 是上述试题的特例, 其中 $P_i(\lambda)$ 都是一次多项式.

例 8 (2010 级高等代数 II 期中考试第六大题)  设 $A$ 和 $B$ 分别为 $m\times n$ 和 $n\times m$ 阶复矩阵, 其中 $m\geq n$. 若 $BA$ 可对角化且 $|BA|\neq 0$, 证明: $AB$ 也可对角化.

评注  教材 [1] 复习题七的第 3 题讨论了秩等于 1 的矩阵 $A=\alpha\beta'$ 的 Jordan 标准形 (其中 $\alpha,\beta$ 为非零列向量), 作为结论我们知道: $A=\alpha\beta'$ 可对角化当且仅当 $tr(A)=\beta'\alpha\neq 0$, 因此上述试题是这一结论的高阶推广.

例 9 (2015 级高等代数 II 期末考试第六大题)  设 $n$ 阶复方阵 $A$ 的特征多项式为 $f(\lambda)$, 复系数多项式 $g(\lambda)$ 满足 $(f(g(\lambda)),g'(\lambda))=1$, 证明: 存在 $n$ 阶复方阵 $B$, 使得 $g(B)=A$.

评注  学习指导书 [2] 的例 7.44 是上述试题的特例, 其中 $g(\lambda)=\lambda^m$.

例 10 (2015 级高等代数 II 思考题第 16 题) 

(1) 设 $A$ 为 $n$ 阶正定实对称阵, 证明: 对任意的 $x\in\mathbb{R}^n$, 成立 $0\leq x'(A+xx')^{-1}x<1$; 进一步, 对任意的 $B\in M_{n\times m}(\mathbb{R})$, 成立 $0\leq |B'(A+BB')^{-1}B|<1$;

(2) 设 $A$ 为 $n$ 阶半正定实对称阵, 证明: 存在 $x\in\mathbb{R}^n$, 使得 $A+xx'$ 正定且 $x'(A+xx')^{-1}x=1$ 的充要条件是 $r(A)=n-1$; 进一步, 存在 $B\in M_{n\times m}(\mathbb{R})\,(m\leq n)$, 使得 $A+BB'$ 正定 且 $|B'(A+BB')^{-1}B|=1$ 的充要条件是 $r(A)=n-m$.

评注  上述试题 (1) 的前半部分是一道考研试题, 而后半部分是其高阶推广; 进一步, (2) 是 (1) 的一个有益的补充.

三、习题的逆向思维

完成一道证明题后, 经常去想一想条件和结论反过来这个问题是否还成立呢? 这种思维锻炼对于数学学习极其重要. 因此, 选择教材习题的逆向思维进行命题, 也是一个行之有效的方法.

例 11 (2013 级高等代数 I 期末考试第七大题)  设 $A$ 为数域 $K$ 上的 $n$ 阶非异阵, 证明: 对任意的对角阵 $B\in M_n(K)$, $A^{-1}BA$ 均为对角阵的充分必要条件是 $A=P_1P_2\cdots P_r$, 其中 $P_i$ 均为第一类初等阵 (即对换 $I_n$ 的某两行) 或第二类初等阵 (即非零常数乘以 $I_n$ 的某一行).

评注  由第一类初等阵或第二类初等阵诱导的相似变换将对角阵变为对角阵, 这是一个显然的事实 (即上述试题的充分性), 但这一事实的逆向思维 (即上述试题的必要性) 却并不是一个平凡的命题.

例 12 (2015 级高等代数 II 思考题第 11 题)

(1) 设 $A\in M_n(\mathbb{C})$ 与所有的 $A^k\,(k\geq 1)$ 都相似, 求 $A$ 的 Jordan 标准型;

(2) 设非异阵 $A\in M_n(\mathbb{C})$ 与 $A^{-1}$ 相似, 求 $A$ 的 Jordan 标准型.

评注  上述 (1) 是教材 [1] 复习题七的第 27 题的逆向思维; (2) 是教材 [1] 的习题 7.7.8 的逆向思维.

例 13 (2013 级高等代数 II 每周一题第 5 题)  设 $A,B$ 分别是 $4\times 3$ 和 $3\times 4$ 阶实矩阵, 满足 $$BA= \begin{pmatrix} -9 & -20 & -35 \\2 & 5 & 7 \\2 & 4 & 8 \end{pmatrix},$$ $$AB= \begin{pmatrix} 9a-14 & 0 & 9a-15 & 18a-32 \\6a+2b-9 & 1 & 6a+3b-9 & 12a+4b-19 \\-2a+2 & 0 & -2a+3 & -4a+4 \\-3a+6 & 0 & -3a+6 & -6a+14 \end{pmatrix},$$ 试求参数 $a,b$ 的值.

评注  第三届全国大学生数学竞赛决赛中的一道高等代数试题是: 设 $A,B$ 分别为 $3\times 2$ 和 $2\times 3$ 阶实矩阵, 已知 $AB$, 求 $BA$, 而上述试题却是它的逆向命题.

例 14 (2015 级高等代数 II 期末考试第八大题)  设 $A,B$ 为 $n$ 阶正定实对称阵, 其算术平方根记为 $A^{\frac{1}{2}}$, $B^{\frac{1}{2}}$, 证明: 若 $A-B$ 为半正定阵, 则 $A^{\frac{1}{2}}-B^{\frac{1}{2}}$ 也是半正定阵.

评注  教材 [1] 复习题八的第 24 题告诉我们: $A-B$ 是半正定阵一般不能保证 $A^2-B^2$ 也是半正定阵, 而上述试题却是这一习题的逆向思维, 即 $A^2-B^2$ 是半正定阵一定能保证 $A-B$ 也是半正定阵.

四、重要理论、定理、方法和技巧的直接应用

教材中某些习题其实是一些重要的解题技巧, 运用这些习题可以证明一些很难的压轴题. 例如教材 [1] 复习题九的第 31 题被称为``同时合同对角化''的技巧, 利用它可以证明例 14. 从命题的角度来看, 将压轴题设计为某些重要理论、定理、方法和技巧的直接应用是最本质的目的. 我们先来看教材习题直接应用的两道考题.

例 15 (2013 级高等代数 I 期末考试第八大题)  设 $\varphi$ 为数域 $K$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换, 且存在非零向量 $\alpha\in V$, 使得 $V=L(\alpha,\varphi(\alpha),\varphi^2(\alpha),\cdots)=C(\varphi,\alpha)$ 为循环空间. 设 $\varphi^n(\alpha)=-a_0\alpha-a_1\varphi(\alpha)-\cdots-a_{n-1}\varphi^{n-1}(\alpha)$, 令 $f(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\in K[x]$. 证明: 若 $f(x)$ 在数域 $K$ 上至少有两个互异的首一不可约因式, 则存在非零向量 $\beta,\gamma\in V$, 使得 $V=C(\varphi,\beta)\oplus C(\varphi,\gamma)$.

评注  教材 [1] 的习题 6.3.8 告诉我们: 若 $\varphi$ 的特征多项式 $f(x)$ 可以分解为两个互素多项式 $g(x),h(x)$ 的乘积, 则有全空间的直和分解 $V=\mathrm{Ker}g(\varphi)\oplus\mathrm{Ker}h(\varphi)$. 上述试题就是这一教材习题的直接应用.

例 16 (2015 级高等代数 II 思考题第 4 题)  设 $n$ 阶方阵 $A$ 适合多项式 $f(x)=a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots+a_1x+a_0$, 其中 $|a_m|>\sum\limits_{i=0}^{m-1}|a_i|$. 证明: 矩阵方程 $2X+AX=XA^2$ 只有零解.

评注  教材 [1] 复习题七的第 26 题告诉我们: 若方阵 $A,B$ 没有公共的特征值, 则矩阵方程 $AX=XB$ 只有零解. 上述试题就是这一教材习题的直接应用. 另外, 第七届全国大学生数学竞赛预赛中的一道高等代数试题也是这一习题的直接应用, 它的更多应用可以参考学习指导书 [2] 的例 6.64--例 6.66.

矩阵的标准形理论是高等代数教学在代数层面的重点, 它们是处理矩阵问题的重要工具和方法. 一个普遍的原则是, 如果矩阵问题的条件和结论在 (同时) 相抵、相似、合同或正交相似关系下不改变, 则可以将其中一个或几个矩阵化为相抵、相似、合同或正交相似标准形来考虑. 我们来看下面两道考题, 它们可看成是标准形理论的直接应用.

例 17 (2014 级高等代数 II 期末考试第八大题)  设 $A,B$ 为 $n$ 阶半正定实对称阵, 求证: $AB$ 可对角化.

评注  将 $B$ 化为合同标准型, 然后利用半正定阵的性质即可证明结论.

例 18 (2013 级高等代数 II 期末考试第七大题)  设 $A$ 为 $n$ 阶半正定实对称阵, $B$ 为 $n$ 阶实对称阵且满足 $AB+BA=0$, 证明: 存在 $n$ 阶正交阵 $P$, 使得 $$P'AP=\mathrm{diag}\{\lambda_1,\cdots,\lambda_r,0,\cdots,0\},\,\,\,\,P'BP=\mathrm{diag}\{0,\cdots,0,\mu_{r+1},\cdots,\mu_n\}.$$

评注  将 $A$ 化为正交相似标准型即可证明结论.

最后两道试题是高等代数中某些重要定理或其证明方法的直接应用.

例 19 (2015 级高等代数 II 期中考试第七大题)  设 $A$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 阶方阵, 递归地定义矩阵序列 $\{A_k\}_{k=1}^\infty$:
$$A_1=A,\,\,\,\,p_k=-\frac{1}{k}\mathrm{tr}(A_k),\,\,\,\,A_{k+1}=A(A_k+p_kI_n),\,\,k=1,2,\cdots.$$
求证: $A_{n+1}=0$.

评注  这道试题是 Newton 公式和 Cayley-Hamilton 定理的直接应用.

例 20 (2011 级高等代数 II 期末考试第八大题)  设 $V$ 为 $n$ 维酉空间, $\varphi,\psi$ 为 $V$ 上的正规算子, 它们都满足不同特征值的模长互不相同. 证明: $\|\varphi(v)\|=\|\psi(v)\|$ 对任意的 $v\in V$ 成立的充分必要条件是存在谱分解: $\varphi=\lambda_1E_1+\cdots+\lambda_kE_k$, $\psi=\mu_1E_1+\cdots+\mu_kE_k$, 其中 $\lambda_1,\cdots,\lambda_k$, $\mu_1,\cdots,\mu_k$ 分别是 $\varphi,\psi$ 的全体不同特征值, $E_i$ 是对应的正交投影算子, 并且 $|\lambda_i|=|\mu_i|$, $1\leq i\leq k$.

评注  若内积空间之间的线性映射 $\varphi$ 保持范数, 则一定保持内积, 这是高等代数中的一个定理, 其证明方法是将内积写成范数的表达式. 利用相同的证明方法可以把上述试题中范数的条件转化成内积的条件, 然后直接利用复正规算子谱分解的唯一性即可证明结论.

在高等代数考试命题的过程中, 除了``不滥用陈题, 坚持自主创新命题''之外 (上述 20 道考题中 17 道为自主创新命题), 我们还特别注重``考题的一题多解性'' (上述 20 道考题中有 10 道可以一题多解, 如例 14 有六种不同的解法, 请参考 [4]), 并期待通过考题的一题多解激发学生的思维活力和创造力. 良好的教学效果需要通过高质量的考试命题来反馈, 而高质量的考试命题反过来也能促进教学质量的提高. 以上关于高等代数考试命题的若干经验, 恳请国内外同行专家批评指正.

参考文献

[1]  姚慕生, 吴泉水, 谢启鸿. 高等代数学 (第三版)[M]. 上海: 复旦大学出版社, 2014.

[2]  姚慕生, 谢启鸿. 高等代数 (第三版), 大学数学学习方法指导丛书[M]. 上海: 复旦大学出版社, 2015.

[3]  谢启鸿. 浅谈高等代数命题中的若干技巧[J]. 大学数学, 2013, 29(3): 127--130.

[4]  谢启鸿高等代数官方博客. http://www.cnblogs.com/torsor/.