前言

永磁同步电机转子位置估算专题将作为一个系列来写，将永磁同步电机常用的电机位置估算法方法分解为若干子类，再逐个写具体原理。文章风格与其他文章一致，保持通俗易懂，又不失深度。

本篇为该专题的一个开题之作，先理解转子位置角指的什么角，并和数学模型联系起来。

文章目录

- 前言
- 一、永磁同步电机的转子位置角
二、转子位置角在哪里反应
- 2.1 αβ\alpha \betaαβ坐标系下的数学模型
- 2.2 αβ\alpha \betaαβ轴的转子磁链分量包含位置信息
- 2.3 αβ\alpha \betaαβ轴的反电势电压分量包含位置信息
三、小结

一、永磁同步电机的转子位置角

本文想要讲明白如何估算转子位置角，这是一个比较大的话题，为了把这个问题说透彻，首先要搞明白什么是转子位置角。

先补充一下永磁同步电机的基础知识，在做永磁同步电机控制时，我们关注的是定子与转子之间的相互作用力，这个力是定子磁场和转子磁场相互作用产生的。其中永磁同步电机的转子为一块永磁体，被生产出来后，其磁场大小就是固定的，其方向为转子N极指向的方向。定子磁场由电流产生，电流越大，产生的磁场越强，每一相电流产生的磁场大小都正比于当前时刻的电流，方向为该相在空间上的方向。总的定子磁场即三相电流产生的磁场的矢量和。

以一对极的永磁同步电机为例，其简化模型如上图。

为了说明转子位置角在空间上的关系，此处分析使用预定位法把转子拖到0°的过程。

令id=10A，iq=0，focAngle=0；id = 10A，iq = 0，focAngle = 0；id=10A，iq=0，focAngle=0；

进行反park变换及反clark变换

[iαiβ]=[cosθsinθ−sinθcosθ][idiq](1)\left[\begin{array}{c} i_{\alpha }\\ i_{\beta } \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} cos\theta&sin\theta\\ -sin\theta & cos\theta \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} i_{d }\\ i_{q } \end{array}\right] \tag{1}[iαiβ]=[cosθ−sinθsinθcosθ][idiq](1)

反park变换

[iaibic]=23[10−1232−12−32][iαiβ](2)\left[\begin{array}{c} i_{a}\\ i_{b} \\ i{c} \end{array}\right] = \frac{2}{3} \left[\begin{array}{c} 1 & 0\\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt3}{2} \\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt3}{2} \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} i_{\alpha }\\ i_{\beta } \end{array}\right] \tag{2} ⎣⎡iaibic⎦⎤=32⎣⎢⎡1−21−21023−23⎦⎥⎤[iαiβ](2)

反clark变换

带入令id=10A，iq=0，focAngle=0id = 10A，iq = 0，focAngle = 0id=10A，iq=0，focAngle=0，有 iα=10A,iβ=0;ia=6.67A,ib=−3.3A,ic=−3.3Ai_{\alpha} = 10A, i_{\beta} = 0; i_a = 6.67A,i_b = - 3.3A,i_c = -3.3Aiα=10A,iβ=0;ia=6.67A,ib=−3.3A,ic=−3.3A

放到上图，矢量合成，无论在αβ\alpha \betaαβ坐标系，还是在abcabcabc坐标系，都可以得到同样的结论，合成矢量的方向和a轴重合，大小为10A；

所以当预定位转子位置角为0度时，得到一个方向和a轴重合的定子磁场，把转子拉到a轴方向。也可以说转子位置角为0度时，转子N极位置和a相定子线圈重合，到此，以下说法得到验证：转子位置角指的是在空间上转子N极与定子a相绕组的电气夹角。

此处的转子位置角，也叫矢量角，磁极位置角，不同行业有不同的习惯叫法。

二、转子位置角在哪里反应

要估算出转子位置，必须知道转子位置在不同位置的时候，会有什么样的反应。在abc坐标系，三相电压、电流、磁链，相互耦合，数学模型复杂，常见的转子位置估算方法在αβ\alpha \betaαβ坐标系下进行。

2.1 αβ\alpha \betaαβ坐标系下的数学模型

先来看电压方程
[vαvβ]=[iαiβ]Rs+ddt[ϕαϕβ](3)\left[\begin{array}{c} v_{\alpha }\\ v_{\beta } \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} i_{\alpha }\\ i_{\beta } \end{array}\right] R_s + \frac{d}{dt} \left[\begin{array}{c} \phi_{\alpha }\\ \phi_{\beta } \end{array}\right] \tag{3} [vαvβ]=[iαiβ]Rs+dtd[ϕαϕβ](3)
其中ϕαϕβ\phi_{\alpha} \phi_{\beta}ϕαϕβ表示αβ\alpha \betaαβ轴磁链

[ϕαϕβ]=[cosθsinθ−sinθcosθ][Lsid+ϕfLsiq](4)\left[\begin{array}{c} \phi_{\alpha }\\ \phi_{\beta } \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} cos\theta&sin\theta\\ -sin\theta & cos\theta \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} L_s i_{d } + \phi_f\\ L_s i_{q } \end{array}\right] \tag{4} [ϕαϕβ]=[cosθ−sinθsinθcosθ][Lsid+ϕfLsiq](4)
把dqdqdq轴磁链变换到αβ\alpha \betaαβ轴
[ϕαϕβ]=[iαiβ]Ls+[ϕfcosθϕfsinθ](5)\left[\begin{array}{c} \phi_{\alpha }\\ \phi_{\beta } \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} i_{\alpha }\\ i_{\beta } \end{array}\right]L_s+ \left[\begin{array}{c} \phi_{f }cos\theta\\ \phi_{f}sin\theta \end{array}\right] \tag{5} [ϕαϕβ]=[iαiβ]Ls+[ϕfcosθϕfsinθ](5)
其中ϕf\phi_fϕf表示永磁体磁链。

相对于以上形式的电压方程，我想更多朋友更熟悉以下形式

[vαvβ]=[iαiβ]Rs+ddt[LsiαLsiβ]+[−ωeϕfsinθωeϕfcosθ](6)\left[\begin{array}{c} v_{\alpha }\\ v_{\beta } \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} i_{\alpha }\\ i_{\beta } \end{array}\right] R_s + \frac{d}{dt} \left[\begin{array}{c}L_s i_{\alpha }\\L_s i_{\beta } \end{array}\right] + \left[\begin{array}{c}- \omega_e \phi_{f } sin\theta \\ \omega_e\phi_{f}cos\theta \end{array}\right] \tag{6} [vαvβ]=[iαiβ]Rs+dtd[LsiαLsiβ]+[−ωeϕfsinθωeϕfcosθ](6)
其中ωe\omega_eωe为电角速度。
但是相比较于(6)，(4)和(5)更容易说明问题

2.2 αβ\alpha \betaαβ轴的转子磁链分量包含位置信息

(4)中，αβ\alpha \betaαβ轴的磁链由dqdqdq轴磁链ipark变换得到，其中，ddd轴磁链由LsidL_s i_{d }Lsid 和 ϕf\phi_fϕf两部分组成，前面说了，ddd轴的的位置定义为永磁体NNN极指向的方向，所以永磁体磁链 ϕf\phi_fϕf只存在于ddd轴，另一部分为电流流经ddd轴电感产生的定子磁链LsidL_s i_{d }Lsid ；qqq轴只有定子磁链LsiqL_s i_{q }Lsiq。

将(4)中的ipark变换展开，得到式(5)
可以看到，**永磁同步电机气隙中的磁链由两部分组成，一部分为定子磁链[iαiβ]Ls\left[\begin{array}{c} i_{\alpha }\\ i_{\beta } \end{array}\right]L_s[iαiβ]Ls，由电流流过定子线圈产生，另一部分为转子磁链[ϕfcosθϕfsinθ]\left[\begin{array}{c} \phi_{f }cos\theta\\ \phi_{f}sin\theta \end{array}\right][ϕfcosθϕfsinθ]，由转子永磁体产生。

αβ\alpha \betaαβ坐标系中的转子磁链分量包含转子角度信息。

2.3 αβ\alpha \betaαβ轴的反电势电压分量包含位置信息

将(5)代入(3)得到(6)，该式子为常见的αβ\alpha \betaαβ坐标系电压方程表达式。我们知道磁场变化产生电场，在永磁同步电机中，每一相定子线圈绕在定子铁芯形成封闭的空间，该空间内，磁链变化，在线圈两端形成电压，磁链变化越快，产生的电压越大。[−ωeϕfsinθωeϕfcosθ]\left[\begin{array}{c}- \omega_e \phi_{f } sin\theta \\ \omega_e\phi_{f}cos\theta \end{array}\right][−ωeϕfsinθωeϕfcosθ]描述了转子磁场旋转产生的电压，与转子转速及转子当前角度的关系，这部分电压也叫反电动势；[LsiαLsiβ]\left[\begin{array}{c}L_s i_{\alpha }\\L_s i_{\beta } \end{array}\right][LsiαLsiβ]描述了定子磁场变化产生的电压与电流的关系。

αβ\alpha \betaαβ坐标系中的反电动势电压分量包含转子角度信息。

三、小结

本文为永磁同步电机转子位置估算专题的第一篇文章，为保证每篇文章篇幅不至于过长，在此收尾。后续文章把转子位置估算的常用方法分解为，αβ\alpha \betaαβ坐标系下的基波模型位置估算、dqdqdq坐标系下的基波模型位置估算、注入信号类的位置估算，等多个方向，具体分解。

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