概率论与数理统计的基本概念
概率论与数理统计的基本概念
- 概率密度（函数）
- 分布函数
- 分布表
- 分布律
- 二维随机变量
- 联合概率密度
- 联合分布函数
- 联合分布表
- 联合分布律
- 边缘概率密度
- 边缘分布函数
- 边缘分布律
- 二重积分与累次积分
- 卷积公式
概率密度（函数）
概率密度函数（又称概率密度），在很多场景下是一个小山峰线，记为f(x)。f(x)的横坐标为组距，纵坐标为频率/组距，这个小山峰线和横坐标围成的面积（小山峰面）表示频率，值为1。
分布函数
分布函数是一个概率，是随机变量X存在于区间负无穷至x上的概率，记为F(x)，是上面介绍的小山峰面的一部分。
连续型随机变量的概率需要计算概率密度函数与横坐标的面积，所以无法得到单个变量发生的概率（因为没有组距，面积总是为0），需要给定一定范围（给定一段组距）。
分布表
前面介绍的概念都是连续性随机变量，还有离散型随机变量。离散型随机变量有一个分布表，记录每个离散型随机变量的概率。
分布律
其中，以下部分被称作概率分布，或分布律，或概率函数。
二维随机变量
联合概率密度
二维随机变量的山峰面（拱山峰面）叫做联合概率密度，记为f(x,y)。
联合分布函数
二维随机变量的山峰体叫做联合概率分布，记为F(x,y)。
联合分布表
联合分布律
边缘概率密度
边缘概率密度中的边缘意思是研究一个变量不管另一个变量的概率密度。如 XXX 的边缘概率密度是研究 x∈Xx \in Xx∈X 变量，不管 y∈Yy \in Yy∈Y 变量。即对 yyy 在 (−∞,+∞)(-\infty, +\infty)(−∞,+∞) 积分消除 yyy 变量，最后留下 xxx 的结果。它的是一个平山峰面（切了再积分），区别于联合概率密度函数的拱山峰面：
边缘分布函数
边缘分布律
参考B站UP主-亚瑟的灭神王瞳
二重积分与累次积分
将二重积分记为：
累次积分是将不方便直接计算的二重积分转化成方便计算的做两次定积分，比如上式可以先对每个xxx，把所有的yyy累积起来，形成一些小竖条，记为：
然后把这些小竖条也累积起来，记为：
因此，有：
当然，还可以换个方向考虑（先把x累积起来形成小横条，再累积y方向）。
推荐阅读：【高等数学】二重积分化累次积分方法
卷积公式
设XXX和YYY的联合密度为 f(x,y)f (x,y)f(x,y), Z=X+YZ=X+YZ=X+Y 的概率密度为：
上面的结果需要先从 Z=X+YZ=X+YZ=X+Y 的分布函数FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y≤z)F_Z(z)=P(Z≤z)=P(X+Y ≤ z)FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y≤z)开始，二重积分—累次积分—变量代换—求偏导—Z的概率密度函数。（真正求的过程中可采用数形结合求解）
根据数形结合的思想，可得：
令 x=u−yx=u-yx=u−y，xxx 的范围 (−∞,z−y)(-\infty, z-y)(−∞,z−y)，那么 uuu 的范围 (−∞,z−y+y)(-\infty, z-y+y)(−∞,z−y+y)，可得：
对fZ(z)f_Z (z)fZ(z)求导，可得ZZZ的概率密度：
由XXX和YYY的对称性, fZ(z)f_Z (z)fZ(z)又可写成：
当XXX和YYY独立，设(X,Y)(X,Y)(X,Y)关于X,YX,YX,Y的边缘密度分别为fX(x),fY(y)f_X(x) , f_Y(y)fX(x),fY(y), 则上述两式化为卷积公式:
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