拉格朗日乘子法——从单约束到多约束的直观翻译
拉格朗日乘数法——从单约束条件到多约束条件的空间直观解释
拉格朗日乘数法的用处
拉格朗日乘数法用于约束条件并不容易用于消元的情况。这时候,就需要用拉格朗日乘数法进行约束条件和目标函数的统一,便于计算极值和最值。
1.单约束条件
多约束条件的最优化:
目标函数的梯度是多个约束条件梯度的线性组合
G和h是约束函数,而f是目标函数
可以理解为
为什么要在其张成的向量子空间:
https://zhuanlan.zhihu.com/p/29525538。
里面说的很清楚:
核心关键点是可行方向首先在约束平面上必须与约束平面切线平行,即与梯度垂直。
可行方向同时又要与多个约束平面切线平行,即同时与多个梯度向量垂直。
在目标函数上,可行方向必须与目标函数等值面相切运动,那么就必须与等值面的梯度方向垂直。
综合上述两点,可行方向必须满足:1.与多个约束平面梯度向量垂直。2.同时与目标函数的梯度垂直。
这里可以看到,如果要求出可行方向,必须让目标函数梯度向量位于约束梯度向量所张开的向量空间中
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