从一组已知为真的事实出发，直接运用经典逻辑中的推理规则推出结论的过程称为自然演绎推理。

自然演绎推理所给予的逻辑基础主要包含等价式、永真蕴含式、置换、合一

文章目录

等价式
- 定义
- 常用等价式：
永真蕴含式
- 定义
- 常用的永真蕴含式
置换
- 定义
- 例示
- - 定义
- 合成
- - 定义
- 合一
- - 定义
自然演绎推理的方法
- 优点
- 缺点

等价式

定义

设P和D是D上的两个谓词公式，若对D上的任意解释，P与Q都有相同的真值，则称P与Q在D上是等价的。如果D是任意非空个体域，则称P与Q是等价的，记作P⇒QP \Rightarrow{Q}P⇒Q

谓词公式的一个解释是指对谓词公式中各个变元的一次真值指派

常用等价式：

永真蕴含式

定义

对谓词公式P和Q，如果P→QP \rightarrow{Q}P→Q永真，则称P永真蕴含Q，且称Q为P的逻辑结论，P为Q的前提，记作P⇒QP \Rightarrow{Q}P⇒Q。

常用的永真蕴含式

上述等价式和永真蕴含式是进行自然演绎推理的重要依据，因此这些公式也被称为推理规则。

置换

在不同谓词公式中，往往会出现多个谓词的谓词名相同但是个体不同的情况，此时推理过程是不能直接进行匹配的，需要先进行边缘的替换。

定义

替换是形如{t1/x1,t2/x2,...,tn/xn}\{t_1/x_1,t_2/x_2,...,t_n/x_n\}{t1/x1,t2/x2,...,tn/xn}的有限集合。其中t1t_1t1、t2t_2t2,…,tnt_ntn是项。x1x_1x1、x2x_2x2、,…,xnx_nxn是互不相同的变元。ti/xit_i/x_iti/xi表示用tit_iti替换xix_ixi，并且要求tit_iti不能与xix_ixi相同，xix_ixi不能循环的出现在另一个tit_iti中。

通常，置换是用希腊字母来表示的。

例示

定义

设θ={t1/x1,t2/x2,...,tn/xn}\theta = \{t_1/x_1,t_2/x_2,...,t_n/x_n\}θ={t1/x1,t2/x2,...,tn/xn}是一个置换，F是一个谓词公式，把公式F中出现的所有xix_ixi换成tit_iti，得到一个新的公式G，称G为F在替换θ\thetaθ下的例示，记为G=FθG=F\thetaG=Fθ

一个谓词公式的任何例示都是该公式的逻辑结论。

合成

定义

合一

定义

合一可以简单地理解为利用置换使两个或多个谓词的个体一致。

设有公式集F={F1,F2,..,Fn}F=\{F_1,F_2,..,F_n\}F={F1,F2,..,Fn}，若存在一个置换θ\thetaθ，可使F1θ=F2θ=...=FnθF_1\theta=F_2\theta=...=F_n\thetaF1θ=F2θ=...=Fnθ，则称θ\thetaθ是F的一个合一，称F1,F2,...,FnF_1,F_2,...,F_nF1,F2,...,Fn是可合一的。

自然演绎推理的方法

自然演绎推理最基本的方法是三段论推理，包括了假言推理、拒取式推理、假言三段论等。

例如：

优点

证明过程自然，易于理解
有丰富的推理规则可用

缺点

容易产生知识爆炸，即推理过程中得到的中间结论一般按指数规律递增

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