高等数学基础06：方向导数

如上图，蚂蚁沿什么方向跑路才能活？
函数：z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)

如果函数的增量，与这两点距离的比例存在，则称此为在P点沿着L的方向导数

函数： f(x,y)f(x,y)f(x,y)在X轴正向e1⃗={1,0}\vec{e_1}=\{1,0\}e1={1,0} ，Y轴正向$\vec{e_2}={0,1 }$ 的方向导数
分别为： fx,fyf_x,f_yfx,fy负方向导数：−fx,−fy-f_x,-f_y−fx,−fy

定理：如果函数 z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)在点 P(x,y)P(x,y)P(x,y)是可微分的，那么在该点沿任意方向L的方向导数都存在。

φ为X轴到L的角度\varphi 为X轴到L的角度φ为X轴到L的角度

###例：
求函数z=xe2y在点P(1,0)处沿从点P(1,0)到点Q(2,−1)的方向导数.求函数z=xe^{2y}在点P(1,0)处沿从点P(1,0)到点Q(2,-1)的方向导数.求函数z=xe2y在点P(1,0)处沿从点P(1,0)到点Q(2,−1)的方向导数.
解：这里方向l⃗\vec{l}l即为$\vec{PQ}={1,-1}$，故x轴到方向l⃗\vec{l}l的转角φ=−π4.\varphi=-\frac{\pi}{4}.φ=−4π.

所求方向导数

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