一、牛顿插值多项式的推导

拉格朗日插值多项式的形式具有对称性，便于记忆，又便于应用于编制程序。

但公式中的都依赖于全部插值节点，在增加或减少节点时必须全部重新计算。

为克服这个缺点，把插值多项式构造成如下形式：

记为，即

其中系数可由插值条件确定。

为此，我们引入差商概念：

定义1：设函数f(x)在点上的值依次为称

为处的一阶差商，记为，即

称一阶差商的差商

(i,j,k互异)

为f(x)在处的二阶差商，记为，即

一般地，称m-1阶差商的差商

为f(x)在点处的m阶差商。

特别地，规定零阶差商。

有了差商的概念之后，我们就可以用差商来表示牛顿插值多项式中的系数。

由插值条件可得：

一般地，可以证明有：

于是，满足插值条件的n次牛顿插值多项式为

二、牛顿插值多项式的MATLAB实现

function [C,D]=newpoly(X,Y)
%输入  X代表插值节点的值
%      Y代表各个插值节点所对应的函数值
%输出  C代表牛顿插值函数
%      D代表差商表
n=length(X);
%求差商表
D=zeros(n,n);
D(:,1)=Y;
for i=2:nfor j=i:nD(j,i)=(D(j,i-1)-D(j-1,i-1))/(X(j)-X(j-i+1));end
end
%求牛顿插值函数
A=(diag(D))';
P=zeros(n,n);
P(1,n)=1;
for i=2:nV=1;for q=1:i-1V=conv(V,poly(X(q)));endP(i,n-i+1:n)=V(1:i);
end
Q=A*P;
C=poly2sym(Q);

接着，在命令行窗口中输入：

>> X=[1 2 3 4 5 6];

>> Y=[66 66 65 64 63 63];

>> [C,D]=newpoly(X,Y)

可以得到差商表如下：

xk	f[xk]	一阶差商	二阶差商	三阶差商	四阶差商	五阶差商
x1=1	66.00	0	0	0	0	0
x2=2	66.00	0	0	0	0	0
x3=3	65.00	-1.00	-0.50	0	0	0
x4=4	64.00	-1.00	0	0.17	0	0
x5=5	63.00	-1.00	0	0	-0.04	0
x6=6	63.00	0	0.50	0.17	0.04	0.02

并且由牛顿插值法得到的牛顿插值多项式为：

三、牛顿插值多项式的Python实现

import numpy as npX=np.array([1,2,3,4,5,6])
Y=np.array([66,66,65,64,63,63])n=np.shape(X)[0]
D=np.zeros((n,n))#求差商表
for i in range(n):D[i,0]=Y[i]
for i in range(1,n):for j in range(i,n):D[j,i]=(D[j,i-1]-D[j-1,i-1])/(X[j]-X[j-i])

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插值与多项式逼近 | 牛顿插值多项式

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二、牛顿插值多项式的MATLAB实现

三、牛顿插值多项式的Python实现

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