二进制运算以及源码、补码、反码概念讲解

前言

在学习框架源码底层时，有非常多的二进制运算，由于大学学习计算机基础时开小差，没有学习牢固，所以在看底层源码的算法逻辑时遇到二进制运算比较吃力，遂通过一篇博文来总结下二进制运算，记录一下。

读者认真阅读完整片文章，看完如果还不懂可以来砍我~

正文

1. 二进制基础

因为计算机底层是通过二进制来进行计算的，所以在计算机底层会将十进制转换为二进制。十进制就是逢10进1，二进制就是逢2进1。

就十进制来说，比如一百可以分为三位，个位、十位、百位, 用位数在下列表示 101这个十进制数。

百位	十位	十位
1	0	1

因此对于十进制来说，越往上进制位越大，比如千位、万位。

同理，对于二进制来说也有对应位数, 如果表示二进制的4。

4(2^2)	2(2^1)	1(2^0)
1	0	0

1 * 4 + 2 * 0 + 1 * 0 = 4

如果要表示二进制的5，则如下图

4(2^2)	2(2^1)	1(2^0)
1	0	1

4 * 1 + 2 * 0 + 1 * 1 = 5

如果要表示二进制的11，则如下图

8(2^3)	4(2^2)	2(2^1)	1(2^0)
1	0	1	1

8 * 1 + 4 * 0 + 2 * 1 + 1 * 1 = 11

在计算机中，1字节有8位二进制位。

2. 二进制运算

在计算机系统中，二进制运算包括了二进制逻辑运算和二进制算术运算，而逻辑运算和算术运算的主要区别在于，逻辑运算是按位进行，不像算术运算中位与位之间有进位和借位的联系。下面介绍的与、或、异运算就属于二进制的逻辑运算。

2.1 二进制逻辑运算

对于二进制的逻辑运算，记住一个口诀：

与（&）运算

运算规则：
0&0=0, 0&1=0, 1&0=0, 1&1=1

二者为1则为1，否则都为0。
或（|）运算

运算规则：
0|0=0，0|1=1，1|0=1，1|1=1

遇1则1，否则为0。
异（^）或运算

运算规则：
0^0=0, 1^0=1, 0^1=1, 1^1=0

同为0，异为1。

由于算术运算中会设计符号数的运算，所以先介绍二进制中的源码、补码以及反码。

2.2 二进制算术运算

在二进制算术运算中，包括加、减、乘、除。

加法

0 + 0 = 1
1 + 1 = 10
1 + 0 = 1
0 + 1 = 1

乘法

0 × 0 = 0
1 × 0 = 0
0 × 1 = 0
1 × 1 = 1

减法

0－0=0
1－0=1
1－1=0
0－1=1

除法

0÷1=0
1÷1=1

3. 二进制的源码、补码以及反码

二进制源码是什么？

由于数字有正负之分，所以在计算机中通过在一个数的二进制的最高位存放符号（0为正，1为负），而其他数值位存放着就是数值的二进制位, 这就是二进制源码。需要知道的是，正数的源码、补码和反码都是一样的。

源码有缺点，就是不能直接进行运算，因为运算会出错。源码是有符号数的最简单的编码方式，便于输入输出，但作为代码加减运算时较为复杂。

二进制反码是什么？

反码通常是用来由源码求补码或者由补码求源码的过度码，根据定义可以根据补码的整数和小数中"0"的表示形式各有2中，+0和-0不一样。以8位机器数为例，
整数的"+0"源码为：0,0000000，反码为：0,0000000。整数的"-0"源码为：1,0000000，反码为：1,1111111。

反码跟源码是正数时一样，为负数是，除符号位外，其他为所有数值取反。

一句话概括就是，反码是用于计算负数补码的过度码。

二进制补码是什么？

由于数字有正负之分，所以在计算机中通过在一个数的二进制的最高位存放符号（0为正，1为负），而这就是机器数的补码。还需要知道的一点是，在计算机中是负数是以补码的形式存储的，由于正数的源码和补码相同，所以正数以源码或者补码的形式存储在计算机中都是正确的说法，而负数的源码和补码则不相同。二进制运算后，会将补码结果转换为源码之后，再计算其十进制值。

总结起来补码的作用就是：

使符号位能与有效值部分一起参加运算,从而简化运算规则.
使减法运算转换为加法运算,进一步简化计算机中运算器的线路设计所有这些转换都是在计算机的最底层进行的，而在我们使用的汇编、C等其他高级语言中使用的都是原码。

源码和反码之间怎么转换？

源码除了最高位的符号位外，其他位数全部取反，得到的就是反码。

补码和反码之间怎么转换？

补码则是在反码的基础上加一。

小结

对于源码、补码和反码，三者均有符号位和数值位两部分，最高位为符号位，其余位均为数值位。符号位用0表示正，1表示负，而数值位三者表示方法都不同。在计算机系统中，数值一律用补码来
表示和存储，原因在于补码可以将符号位和数值域统一处理，同时加法和减法也可以同一处理，此外源码和补码互相转换，其运算过程是相同的，不需要额外的硬件电路。
一个负整数和其补数相加和为模，对一个整数的补码再求补码等于该整数自身，补码的正零与负零表示方法相同。

4. 二进制的移位运算符

在二进制中，移位运算符是一种位操作运算符。移位运算符可以在二进制的基础上对数字进行平移。按照平移的方向和位数填充规则可以将移位运算符分为三种：<<（左移）、>>（有符号右移）和>>>（无符号右移）。

4.1 <<（左移）

<<表示的是左移，将运算数的二进制整体左移指定的位数，低位用0补齐，因此左移不存在有符号和无符号的区别。

例如在java中int类型的十进制数16，由于在java中，int类型占4字节，1字节有8位， 所以其二进制源码表示为：

0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0000

16 << 2 ，就是相当于将16的二进制数整体左移2为，然后低位补0，移位操作后：

0000 0000 0000 0000 0000 0000 0100 0000

那么我们再来看下对于负数的左移运算。

-16，其二进制源码为：
1000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0000

反码：
1111 1111 1111 1111 1111 1111 1110 1111

补码：
1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0000

-16 << 2 , 对补码进行向左移2位, 低位补0
1111 1111 1111 1111 1111 1111 1100 0000
由于移位后最高位仍然为1，表示负数，所以需要借助反码来运算

反码为补码 - 1，则结果为：
1111 1111 1111 1111 1111 1111 1011 1111

源码为反码取反，则结果为：
1000 0000 0000 0000 0000 0000 0100 0000
-1 * (2 * 2 ^ 6) = -64

小结：对于左移运算，a << b，相当于 a * 2 ^ b。

4.2 >> （有符号右移）

在计算机中>> 表示有符号右移，就是将二进制整体右移指定位数，如果是正数，则高位用0补齐，如果是负数，则高位用1补齐。

仍然用java中16和-16来进行有符号右移操作，

16 >> 2

通过二进制补码是运算，最终结果为4，同样的-16 >> 2 结果为-4，详细的通过二进制运算结果这里就不展示了，参考左移中列出的详细步骤。

小结：对于有符号右移来说，如果是正数，移动指定位数后，高位用0来补齐；如果是负数，高位用1补齐。

4.3 >>>（无符号右移）

在计算机中通过>>>来表示无符号右移，不管是正数还是负数，高位都用0来补齐。

对于正数，无符号右移>>>和有符号右移>>结果都相同。

同样的用java中16和-16来进行无符号右移运算。

16 >>> 2 结果为 4。

而对于负数来说，无符号右移结果就需要进行计算了。

-16的补码为：
1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0000

则无符号右移，结果为：
0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1100

由于正数的源码、补码和反码都一样，所以移位后的源码为：
0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1100，计算二进制得。

1 * 2 ^ 29 + 1 * 2 ^ 28 + 1 * 2 ^ 27 + 1 * 2 ^ 26 + … + 1 * 2 ^ 2 = 1073741820。

tip 可以通过小技巧来快速计算结果

聪明的读者估计能发现，在二进制位数中，高位的十进制值为其余右边进制之和 + 1，读者可以自行去验证。
所以，

0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1100
^
取该位置计算得出的十进制值，然后-1，再减去 1 * 2^1 + 1 * 2 ^ 0，即：
2 ^ 30 - 1 - 2 ^ 1 - 2 ^ 0 =1073741824 - 1 - 2 - 1 = 1073741820。

5. 示例

比如变量 a & (-a) 用二进制怎么运算：

10 & (-10)

&是按位与，首先在计算机中数字都是以补码的形式存在的，比如：

int a = 10

+10，它的源码为：

0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1010

由于正数的源码和补码相同，所以它的补码为：

0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1010

对于-10，

它的源码为：

0000 0000 0000 0000 0000 0000 1000 1010

它的反码是源码的数值域取反，即：

1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0101

它的补码是反码+1，即：

1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0110

由于二进制运算都是用补码来计算的，所以 a & (-a) ，就是：

0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1010 & 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0110 = 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010

对于二进制来说，由于最高位为0，所以可以知道该数为正数，所以源码、补码和反码都一样。
而由于除开最高位符号位外的所有高位都为0，所以可以只看低四位，即0010，换算十进制后为2。

所以如果a=10，则 10 & (-10) = 2。

算完了&，那么再来计算下 ^ 和 | ，看下计算机中是如何通过补码来计算的。

10 ^ (-10)

由于10的补码为：
0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1010
-10的补码为：
1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0110

则10 ^ -10 的补码结果为：
1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1100

由于最高位为1，则该数为负数，需要借助反码来计算其源码。

反码为补码 - 1，则结果为：
1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1011

源码为反码取反，结果为：
1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0100
则十进制结果为-4。

10 | (-10)

由于10的补码为：
0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1010
-10的补码为：
1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0110

由于最高位为1，则该数为负数，需要借助反码来计算其源码。

则10 | -10 的补码结果为：
1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1110
反码结果为补码 - 1，则结果为：
1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1101
源码为反码结果取反，结果为：
1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010

计算的十进制结果为 -2。

通过一个简单的示例分析，相信读者已经弄清楚了源码、补码和反码之间的关系以及在二进制运算中是如何运用的了。

在开源框架底层中算法会用到大量的二进制运算， 例如：在最近学习的Netty底层源码中，DefaultEventExecutorChooserFactory的底层源码有一个方法, 就是通过 a & (-a)来运算的。

@Override
public EventExecutorChooser newChooser(EventExecutor[] executors) {if (isPowerOfTwo(executors.length)) {return new PowerOfTowEventExecutorChooser(executors);} else {return new GenericEventExecutorChooser(executors);}
}
/** 用于计算val是否是2的幂，例如2、4、8、16*/
private static boolean isPowerOfTwo(int val) {return (val & -val) == val;
}private static final class PowerOfTowEventExecutorChooser implements EventExecutorChooser {private final AtomicInteger idx = new AtomicInteger();private final EventExecutor[] executors;PowerOfTowEventExecutorChooser(EventExecutor[] executors) {this.executors = executors;}/** 通过二进制与运算计算出下标索引值，原理如下：* 假设：idx = 2 , 二进制表示为：0000 0010* executors.length = 16, 则executors.length - 1 = 15, 二进制表示为：0000 1111* * 由于是与运算，且executors.length高四位为0000，则只需要注意低四位的运算。* 则： 0010 & 1111 = 0010 ，十进制表示为2，* * 所以如果idx = 3, 则二进制为：0011 & 1111 = 0011 也为3，* 等idx = 16时，二进制为：0001 0000 & 1111 = 0000 0000 ，即十进制的1，* 这样就实现了在0 ~ 15 范围内循环获取下标索引的目的。*/@Overridepublic EventExecutor next() {return executors[idx.getAndIncrement() & executors.length - 1];}
}private static final class GenericEventExecutorChooser implements EventExecutorChooser {private final AtomicInteger idx = new AtomicInteger();private final EventExecutor[] executors;GenericEventExecutorChooser(EventExecutor[] executors) {this.executors = executors;}/** 通过取余运算，计算出下标索引*/@Overridepublic EventExecutor next() {return executors[Math.abs(idx.getAndIncrement() % executors.length)];}
}

总结

在计算机中，二进制的运算是比较重要的，可以看到在Java的许多开源框架底层就运用到了大量的二进制与或非运算，所以学好二进制的基础概念是非常重要的。