二叉堆（c++实现）

二叉堆的介绍

二叉堆是完全二元树或者是近似完全二元树，按照数据的排列方式可以分为两种：最大堆和最小堆。
最大堆：父结点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值；最小堆：父结点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值。示意图如下：

二叉堆一般都通过"数组"来实现。数组实现的二叉堆，父节点和子节点的位置存在一定的关系。有时候，我们将"二叉堆的第一个元素"放在数组索引0的位置，有时候放在1的位置。当然，它们的本质一样(都是二叉堆)，只是实现上稍微有一点点的区别。

假设"第一个元素"在数组中的索引为 0 的话，则父节点和子节点的位置关系如下：

索引为i的左孩子的索引是 (2*i+1)
索引为i的右孩子的索引是 (2*i+2)
索引为i的父结点的索引是 floor((i-1)/2)

假设"第一个元素"在数组中的索引为 1 的话，则父节点和子节点的位置关系如下：

索引为i的左孩子的索引是 (2*i)
索引为i的右孩子的索引是 (2*i+1)
索引为i的父结点的索引是 floor(i/2)

二叉堆的实现

1. 基本定义

template <typename T>
class MaxHeap{private:T *mHeap;                 // 数据int mCapacity;            // 总的容量int mSize;                // 实际容量private:// 最大堆的向下调整算法void filterdown(int start, int end);// 最大堆的向上调整算法(从start开始向上直到0，调整堆)void filterup(int start);public:MaxHeap();MaxHeap(int capacity);~MaxHeap();// 返回data在二叉堆中的索引int getIndex(T data);// 删除最大堆中的dataint remove(T data);// 将data插入到二叉堆中int insert(T data);// 打印二叉堆void print();
};

MaxHeap是最大堆的对应的类。它包括的核心内容是"添加"和"删除"，理解这两个算法，二叉堆也就基本掌握了。下面对它们进行介绍

2. 添加

假设在最大堆[90,80,70,60,40,30,20,10,50]种添加85，需要执行的步骤如下：

如图所示，当向最大堆中添加数据时：先将数据加入到最大堆的最后，然后尽可能把这个元素往上挪，直到挪不动为止！将85添加到[90,80,70,60,40,30,20,10,50]中后，最大堆变成了[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]。

在实现添加之前，先实现怎么将数据往上挪：

/*
最大堆的向上调整算法(从start开始向上直到0，调整堆)
注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
参数说明：
start -- 被上调节点的起始位置(一般为数组中最后一个元素的索引)*/
template <typename T>
void MaxHeap<T>::filterup(int start)
{int c = start;            // 当前节点(current)的位置int p = (c-1)/2;          // 父(parent)结点的位置 T tmp = mHeap[c];         // 当前节点(current)的大小while(c > 0){if(mHeap[p] >= tmp)break;else{mHeap[c] = mHeap[p];c = p;p = (p-1)/2;   }       }mHeap[c] = tmp;
}

下面实现添加：

/*
将data插入到二叉堆中
返回值：0，表示成功-1，表示失败*/
template <typename T>
int MaxHeap<T>::insert(T data)
{// 如果"堆"已满，则返回if(mSize == mCapacity)return -1;mHeap[mSize] = data;        // 将"数组"插在表尾filterup(mSize);            // 向上调整堆mSize++;                    // 堆的实际容量+1return 0;
}

insert(data)的作用：将数据data添加到最大堆中。当堆已满的时候，添加失败；否则data添加到最大堆的末尾。然后通过上调算法重新调整数组，使之重新成为最大堆。

3. 删除

假设从最大堆[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]中删除90，需要执行的步骤如下：

如上图所示，当从最大堆中删除数据时：先删除该数据，然后用最大堆中最后一个的元素插入这个空位；接着，把插入的数据依次往下挪，直到剩余的数据变成一个最大堆。
从[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]删除90之后，最大堆变成了[85,80,70,60,40,30,20,10,50]。

注意：考虑从最大堆[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]中删除60，执行的步骤不能单纯的用它的子节点来替换；而必须考虑到"替换后的树仍然要是最大堆"！

在实现删除之前首先实现怎么将数据往下挪：

/* 最大堆的向下调整算法注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。参数说明：start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始)end   -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引)*/
template <typename T>
void MaxHeap<T>::filterdown(int start, int end)
{int c = start;          // 当前(current)节点的位置int l = 2*c + 1;     // 左(left)孩子的位置T tmp = mHeap[c];    // 当前(current)节点的大小while(l <= end){// "l"是左孩子，"l+1"是右孩子if(l < end && mHeap[l] < mHeap[l+1])l++;        // 左右两孩子中选择较大者，即mHeap[l+1]if(tmp >= mHeap[l])break;        //调整结束else{mHeap[c] = mHeap[l];c = l;l = 2*l + 1;   }       }   mHeap[c] = tmp;
}

接下来实现删除操作：

/*
删除最大堆中的data
返回值：0，成功-1，失败*/
template <typename T>
int MaxHeap<T>::remove(T data)
{int index;// 如果"堆"已空，则返回-1if(mSize == 0)return -1;// 获取data在数组中的索引index = getIndex(data); if (index==-1)return -1;mHeap[index] = mHeap[--mSize];    // 用最后元素填补filterdown(index, mSize-1);        // 从index位置开始自上向下调整为最大堆return 0;
}

下面为整个完整的最大堆的实现：

#include <iomanip>
#include <iostream>
using namespace std;template <typename T>
class MaxHeap
{private:T *mHeap;         // 数据int mCapacity;    // 总的容量int mSize;        // 实际容量// 最大堆的向下调整算法void filterdown(int start, int end);// 最大堆的向上调整算法(从start开始向上直到0，调整堆)void filterup(int start);public:MaxHeap();MaxHeap(int capacity);~MaxHeap();// 返回data在二叉堆中的索引int getIndex(T data);// 删除最大堆中的dataint remove(T data);// 将data插入到二叉堆中int insert(T data);// 打印二叉堆void print();
};/* * 构造函数*/
template <typename T>
MaxHeap<T>::MaxHeap()
{new (this)MaxHeap(30);
}template <typename T>
MaxHeap<T>::MaxHeap(int capacity)
{mSize = 0;mCapacity = capacity;mHeap = new T[mCapacity];
}
/* * 析构函数*/
template <typename T>
MaxHeap<T>::~MaxHeap()
{mSize = 0;mCapacity = 0;delete[] mHeap;
}/* * 返回data在二叉堆中的索引** 返回值：*     存在 -- 返回data在数组中的索引*     不存在 -- -1*/
template <typename T>
int MaxHeap<T>::getIndex(T data)
{for(int i=0; i<mSize; i++)if (data==mHeap[i])return i;return -1;
}/* * 最大堆的向下调整算法** 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。** 参数说明：*     start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始)*     end   -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引)*/
template <typename T>
void MaxHeap<T>::filterdown(int start, int end)
{int c = start;             // 当前(current)节点的位置int l = 2*c + 1;           // 左(left)孩子的位置T tmp = mHeap[c];         // 当前(current)节点的大小while(l <= end){// "l"是左孩子，"l+1"是右孩子if(l < end && mHeap[l] < mHeap[l+1])l++;        // 左右两孩子中选择较大者，即mHeap[l+1]if(tmp >= mHeap[l])break;        //调整结束else{mHeap[c] = mHeap[l];c = l;l = 2*l + 1;   }       }   mHeap[c] = tmp;
}/** 删除最大堆中的data** 返回值：*      0，成功*     -1，失败*/
template <typename T>
int MaxHeap<T>::remove(T data)
{int index;// 如果"堆"已空，则返回-1if(mSize == 0)return -1;// 获取data在数组中的索引index = getIndex(data); if (index==-1)return -1;mHeap[index] = mHeap[--mSize];    // 用最后元素填补filterdown(index, mSize-1);        // 从index位置开始自上向下调整为最大堆return 0;
}/** 最大堆的向上调整算法(从start开始向上直到0，调整堆)** 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。** 参数说明：*     start -- 被上调节点的起始位置(一般为数组中最后一个元素的索引)*/
template <typename T>
void MaxHeap<T>::filterup(int start)
{int c = start;            // 当前节点(current)的位置int p = (c-1)/2;        // 父(parent)结点的位置 T tmp = mHeap[c];        // 当前节点(current)的大小while(c > 0){if(mHeap[p] >= tmp)break;else{mHeap[c] = mHeap[p];c = p;p = (p-1)/2;   }       }mHeap[c] = tmp;
}/* * 将data插入到二叉堆中** 返回值：*     0，表示成功*    -1，表示失败*/
template <typename T>
int MaxHeap<T>::insert(T data)
{// 如果"堆"已满，则返回if(mSize == mCapacity)return -1;mHeap[mSize] = data;         // 将"数组"插在表尾filterup(mSize);             // 向上调整堆mSize++;                     // 堆的实际容量+1return 0;
}/* * 打印二叉堆** 返回值：*     0，表示成功*    -1，表示失败*/
template <typename T>
void MaxHeap<T>::print()
{for (int i=0; i<mSize; i++)cout << mHeap[i] << " ";
}int main()
{int a[] = {10, 40, 30, 60, 90, 70, 20, 50, 80};int i, len=(sizeof(a)) / (sizeof(a[0])) ;MaxHeap<int>* tree=new MaxHeap<int>();cout << "== 依次添加: ";for(i=0; i<len; i++){cout << a[i] <<" ";tree->insert(a[i]);}cout << "\n== 最 大 堆: ";tree->print();i=85;tree->insert(i);cout << "\n== 添加元素: " << i;cout << "\n== 最 大 堆: ";tree->print();i=90;tree->remove(i);cout << "\n== 删除元素: " << i;cout << "\n== 最 大 堆: ";tree->print();cout << endl; return 0;
}

下面为二叉堆的最小堆实现：

#include <iomanip>
#include <iostream>
using namespace std;template <typename T>
class MinHeap{private:T *mHeap;        // 数据int mCapacity;    // 总的容量int mSize;        // 实际容量// 最小堆的向下调整算法void filterdown(int start, int end);// 最小堆的向上调整算法(从start开始向上直到0，调整堆)void filterup(int start);public:MinHeap();MinHeap(int capacity);~MinHeap();// 返回data在二叉堆中的索引int getIndex(T data);// 删除最小堆中的dataint remove(T data);// 将data插入到二叉堆中int insert(T data);// 打印二叉堆void print();
};/* * 构造函数*/
template <typename T>
MinHeap<T>::MinHeap()
{new (this)MinHeap(30);
}template <typename T>
MinHeap<T>::MinHeap(int capacity)
{mSize = 0;mCapacity = capacity;mHeap = new T[mCapacity];
}
/* * 析构函数*/
template <typename T>
MinHeap<T>::~MinHeap()
{mSize = 0;mCapacity = 0;delete[] mHeap;
}/* * 返回data在二叉堆中的索引** 返回值：*     存在 -- 返回data在数组中的索引*     不存在 -- -1*/
template <typename T>
int MinHeap<T>::getIndex(T data)
{for(int i=0; i<mSize; i++)if (data==mHeap[i])return i;return -1;
}/* * 最小堆的向下调整算法** 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。** 参数说明：*     start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始)*     end   -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引)*/
template <typename T>
void MinHeap<T>::filterdown(int start, int end)
{int c = start;          // 当前(current)节点的位置int l = 2*c + 1;     // 左(left)孩子的位置T tmp = mHeap[c];    // 当前(current)节点的大小while(l <= end){// "l"是左孩子，"l+1"是右孩子if(l < end && mHeap[l] > mHeap[l+1])l++;        // 左右两孩子中选择较小者，即mHeap[l+1]if(tmp <= mHeap[l])break;        //调整结束else{mHeap[c] = mHeap[l];c = l;l = 2*l + 1;   }       }   mHeap[c] = tmp;
}/** 删除最小堆中的data** 返回值：*      0，成功*     -1，失败*/
template <typename T>
int MinHeap<T>::remove(T data)
{int index;// 如果"堆"已空，则返回-1if(mSize == 0)return -1;// 获取data在数组中的索引index = getIndex(data); if (index==-1)return -1;mHeap[index] = mHeap[--mSize];        // 用最后元素填补filterdown(index, mSize-1);    // 从index号位置开始自上向下调整为最小堆return 0;
}/** 最小堆的向上调整算法(从start开始向上直到0，调整堆)** 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。** 参数说明：*     start -- 被上调节点的起始位置(一般为数组中最后一个元素的索引)*/
template <typename T>
void MinHeap<T>::filterup(int start)
{int c = start;            // 当前节点(current)的位置int p = (c-1)/2;        // 父(parent)结点的位置 T tmp = mHeap[c];        // 当前节点(current)的大小while(c > 0){if(mHeap[p] <= tmp)break;else{mHeap[c] = mHeap[p];c = p;p = (p-1)/2;   }       }mHeap[c] = tmp;
}/* * 将data插入到二叉堆中** 返回值：*     0，表示成功*    -1，表示失败*/
template <typename T>
int MinHeap<T>::insert(T data)
{// 如果"堆"已满，则返回if(mSize == mCapacity)return -1;mHeap[mSize] = data;        // 将"数组"插在表尾filterup(mSize);            // 向上调整堆mSize++;                    // 堆的实际容量+1return 0;
}/* * 打印二叉堆** 返回值：*     0，表示成功*    -1，表示失败*/
template <typename T>
void MinHeap<T>::print()
{for (int i=0; i<mSize; i++)cout << mHeap[i] << " ";
}int main()
{int a[] = {80, 40, 30, 60, 90, 70, 10, 50, 20};int i, len=(sizeof(a)) / (sizeof(a[0])) ;MinHeap<int>* tree=new MinHeap<int>();cout << "== 依次添加: ";for(i=0; i<len; i++){cout << a[i] <<" ";tree->insert(a[i]);}cout << "\n== 最 小 堆: ";tree->print();i=15;tree->insert(i);cout << "\n== 添加元素: " << i;cout << "\n== 最 小 堆: ";tree->print();i=10;tree->remove(i);cout << "\n== 删除元素: " << i;cout << "\n== 最 小 堆: ";tree->print();cout << endl; return 0;
}

测试程序已经包含在相应的实现文件(MaxHeap.cpp)中了，下面只列出程序运行结果。

最大堆(MaxHeap.cpp)的运行结果：
== 依次添加: 10 40 30 60 90 70 20 50 80
== 最大堆: 90 80 70 60 40 30 20 10 50
== 添加元素: 85
== 最大堆: 90 85 70 60 80 30 20 10 50 40
== 删除元素: 90
== 最大堆: 85 80 70 60 40 30 20 10 50