极限的运算法则

基本运算法则

当lim⁡x→∗u(x)=A,lim⁡x→∗v(x)=BA,B≠∞一般来讲,如果极限为无穷大,则认为极限不存在只有取得具体的某个值,我们才认为极限存在如果特别指明A,B可以是无穷大,则另当别论当\lim_{x\to{*}}u(x)=A,\lim_{x\to *}v(x)=B \\A,B\neq \infin \\一般来讲,如果极限为无穷大,则认为极限不存在 \\只有取得具体的某个值,我们才认为极限存在 \\如果特别指明A,B可以是无穷大,则另当别论当x→∗limu(x)=A,x→∗limv(x)=BA,B=∞一般来讲,如果极限为无穷大,则认为极限不存在只有取得具体的某个值,我们才认为极限存在如果特别指明A,B可以是无穷大,则另当别论
lim⁡x→∗(u(x)±v(x))=lim⁡x→∗u(x)±lim⁡x→∗v(x)=A±B,注意A,B≠∞lim⁡x→∗(u(x)v(x))=lim⁡x→∗u(x)lim⁡x→∗v(x)=AB,A,B可以为∞lim⁡x→∗(u(x)v(x))=lim⁡x→∗u(x)lim⁡x→∗v(x)=AB,注意B≠0;lim⁡x→∗(c⋅u(x))=c⋅lim⁡x→∗u(x),这里u(x)可以取任意值(包括∞)\begin{aligned} &\lim\limits_{x\to *}(u(x)\pm v(x)) =\lim\limits_{x\to *}u(x)\pm{\lim\limits_{x\to*}v(x)} =A\pm B,注意A,B\neq \infin \\ &\lim\limits_{x\to *}(u(x)v(x)) =\lim\limits_{x\to *}u(x){\lim\limits_{x\to*}v(x)} =AB,A,B可以为\infin \\ &\lim\limits_{x\to *}(\frac{u(x)}{v(x)}) =\frac{\lim\limits_{x\to *}u(x)}{\lim\limits_{x\to*}v(x)} =\frac{A}{B} ,注意B\neq 0; \\ &\lim\limits_{x\to *}(c\cdot u(x)) =c\cdot \lim\limits_{x\to *}u(x),这里u(x)可以取任意值(包括\infin) \end{aligned} x→∗lim(u(x)±v(x))=x→∗limu(x)±x→∗limv(x)=A±B,注意A,B=∞x→∗lim(u(x)v(x))=x→∗limu(x)x→∗limv(x)=AB,A,B可以为∞x→∗lim(v(x)u(x))=x→∗limv(x)x→∗limu(x)=BA,注意B=0;x→∗lim(c⋅u(x))=c⋅x→∗limu(x),这里u(x)可以取任意值(包括∞)
- 其中的除法规则,在分子分母都为0的时候,有其他办法(比如洛必达法则,泰勒展开)其中的除法规则,在分子分母都为0的时候,有其他办法(比如洛必达法则,泰勒展开)其中的除法规则,在分子分母都为0的时候,有其他办法(比如洛必达法则,泰勒展开)

补充说明:提取极限存在的因子

有时候这个手法可以化简一些计算,使得演算可以(便于)继续推进
对于上述的
lim⁡x→∗(u(x)v(x))=lim⁡x→∗u(x)lim⁡x→∗v(x)如果u(x),v(x)中有一个因子的极限的极限是无穷大(∞),而另一个极限是非0的常数为了便于讨论,假设lim⁡x→∗u(x)=A∉{∞,0}lim⁡x→∗v(x)=B可以取得∞,也可以是任意具体值lim⁡x→∗(u(x)v(x))=lim⁡x→∗u(x)lim⁡x→∗v(x)=Alim⁡x→∗v(x)\lim\limits_{x\to *}(u(x)v(x)) =\lim\limits_{x\to *}u(x){\lim\limits_{x\to*}v(x)} \\如果u(x),v(x)中有一个因子的极限的极限是无穷大(\infin), \\而另一个极限是非0的常数 \\为了便于讨论,假设\lim\limits_{x\to *}u(x)=A\notin\set{\infin,0} \\\lim\limits_{x\to *}v(x)=B可以取得\infin,也可以是任意具体值 \\ \\ \lim\limits_{x\to *}(u(x)v(x)) =\lim\limits_{x\to *}u(x){\lim\limits_{x\to*}v(x)} =A\lim\limits_{x\to{*}}v(x) x→∗lim(u(x)v(x))=x→∗limu(x)x→∗limv(x)如果u(x),v(x)中有一个因子的极限的极限是无穷大(∞),而另一个极限是非0的常数为了便于讨论,假设x→∗limu(x)=A∈/{∞,0}x→∗limv(x)=B可以取得∞,也可以是任意具体值x→∗lim(u(x)v(x))=x→∗limu(x)x→∗limv(x)=Ax→∗limv(x)
- 注意,上述的处理,尚不改变原来待求极限的类型,比如00\frac{0}{0}00

复合函数的极限运算法则

设复合函数y=f(u),其中,u=g(x);即y=f(u)=f(g(x));f(g(x))在点x0处的某个去心邻域内‾有定义;(要求某个g(x),在x=x0出的极限,不要求g(x)在x=x0出有定义,但是要求在x=x0的某个去心邻域内有定义)如果有:lim⁡x→x0g(x)=u0;lim⁡u→u0f(u)=A;附件条件α:∃δ0>0,使得x∈U˚(x0,δ0)时,g(x)≠u0,则:lim⁡x→x0f(g(x))=lim⁡u→u0f(u)=A针对于g(x)的条件α保证了即使f(u)在u=u0处没有定义,上述式子仍然正确设复合函数y=f(u),其中,u=g(x); \\即y=f(u)=f(g(x)); \\ f(g(x))在点x_0处的某个\underline{去心邻域内}有定义; \\(要求某个g(x),在x=x_0出的极限,不要求g(x)在x=x_0出有定义, \\但是要求在x=x_0的某个去心邻域内有定义) \\ \\如果有: \lim_{x\rightarrow x_0}{g(x)}=u_0; \\\lim\limits_{u\to{u_0}}f(u)=A; \\附件条件\alpha:\exist \delta_0>0,使得x\in\mathring{U}(x_0,\delta_0)时,g(x)\neq u_0,则: \\ \lim\limits_{x\to{x_0}}f(g(x))=\lim_{u\to{u_0}}f(u)=A \\针对于g(x)的条件\alpha保证了即使f(u)在u=u_0处没有定义, \\上述式子仍然正确设复合函数y=f(u),其中,u=g(x);即y=f(u)=f(g(x));f(g(x))在点x0处的某个去心邻域内有定义;(要求某个g(x),在x=x0出的极限,不要求g(x)在x=x0出有定义,但是要求在x=x0的某个去心邻域内有定义)如果有:x→x0limg(x)=u0;u→u0limf(u)=A;附件条件α:∃δ0>0,使得x∈U˚(x0,δ0)时,g(x)=u0,则:x→x0limf(g(x))=u→u0limf(u)=A针对于g(x)的条件α保证了即使f(u)在u=u0处没有定义,上述式子仍然正确

注意,g(x0)不一定有定义,所以记号用u0来表示这个极限,而不是用g(x0)表示换句话说,x→x0⇒g(x)→u0注意,g(x_0)不一定有定义,所以记号用u_0来表示这个极限,而不是用g(x_0)表示 \\换句话说,x\rightarrow x_0\Rightarrow g(x)\rightarrow u_0 \\ 注意,g(x0)不一定有定义,所以记号用u0来表示这个极限,而不是用g(x0)表示换句话说,x→x0⇒g(x)→u0

记:lim⁡x→u0f(x)=A;(lim⁡u→u0f(u)=A)则,lim⁡x→x0f(g(x))=lim⁡u→u0f(u)=A另一套写法是:f(u)=A(u→u0);f(g(x))=u(x→x0)⇒f(u)=A(u→u0)记:\lim_{x\rightarrow u_0}{f(x)}=A;(\lim_{u\rightarrow u_0}{f(u)}=A) \\ 则,\lim_{x\rightarrow x_0}{f(g(x))}=\lim_{u\rightarrow u_0}{f(u)}=A \\另一套写法是:f(u)=A(u\to{u_0}); \\f(g(x))=u(x\to{x_0})\Rightarrow{f(u)=A}(u\to u_0) 记:x→u0limf(x)=A;(u→u0limf(u)=A)则,x→x0limf(g(x))=u→u0limf(u)=A另一套写法是:f(u)=A(u→u0);f(g(x))=u(x→x0)⇒f(u)=A(u→u0)

实现从求复合函数在点x0的极限,→转换为简化后的函数(外层函数f(u))的在u0处的极限(函数f(u)的自变量记号写作u仅仅是为了和函数h(x)的自变量区别开)lim⁡x→x0g(x)=u0⇒lim⁡u→u0f(u)=lim⁡g(x)→u0f(g(x))=A如果需要逆向推到,还需要额外的限定条件\\实现从求复合函数在点x_0的极限, \\ \xrightarrow{转换}为简化后的函数(外层函数f(u))的在u_0处的极限 \\(函数f(u)的自变量记号写作u仅仅是为了和函数h(x)的自变量区别开) \\ \\ \lim_{x\rightarrow x_0}{g(x)}=u_0 \Rightarrow \\ \lim_{u\rightarrow u_0}f(u) =\lim_{g(x)\rightarrow u_0}{f(g(x))}=A \\如果需要逆向推到,还需要额外的限定条件实现从求复合函数在点x0的极限,转换为简化后的函数(外层函数f(u))的在u0处的极限(函数f(u)的自变量记号写作u仅仅是为了和函数h(x)的自变量区别开)x→x0limg(x)=u0⇒u→u0limf(u)=g(x)→u0limf(g(x))=A如果需要逆向推到,还需要额外的限定条件

小结

如果g(x),f(x)满足上述定理条件,那么使用代换u=g(x)可以将把计算lim⁡x→x0f(g(x))转换为求解lim⁡u→u0f(u)其中,u0=lim⁡x→x0g(x)如果g(x),f(x)满足上述定理条件,那么使用代换u=g(x)可以将把 \\计算\lim\limits_{x\to{x_0}}f(g(x))转换为求解\lim\limits{u\to{u_0}}f(u) \\其中,u_0=\lim\limits_{x\to{x_0}}g(x) 如果g(x),f(x)满足上述定理条件,那么使用代换u=g(x)可以将把计算x→x0limf(g(x))转换为求解limu→u0f(u)其中,u0=x→x0limg(x)

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