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贝叶斯推断

贝叶斯推断及其互联网应用（一）：定理简介

作为一个非统计专业的人，着实是被贝叶斯思想折磨了很久，常见的公式都能倒背如流，但依旧无法理解其精神内核。

近日，有高人指点，自己再查了点资料，才对贝叶斯思想有所领悟。。。

基本框架：前面总结了常见分布的概念，这里贝叶斯也不例外，都是概率论，概率研究的核心就是随机事件发生的概率。以后遇到统计时，要习惯“某事件发生概率”这种专业说法。

例子1：

两个一模一样的碗，一号碗有30颗水果糖和10颗巧克力糖，二号碗有水果糖和巧克力糖各20颗。现在随机选择一个碗，从中摸出一颗糖，发现是水果糖。请问这颗水果糖来自一号碗的概率有多大？

作者的描述有点含糊，这里会修正一下：

我们假定，H1表示摸出的球来自一号碗，H2表示摸出的球来自二号碗。由于我们假定这两个碗是一样的（先验概率已被指定），所以P(H1)=P(H2)，也就是说，在取出水果糖之前，这两个碗被选中的概率相同。因此，P(H1)=0.5，我们把这个概率就叫做"先验概率"，即没有做实验之前，来自一号碗的概率是0.5。

再假定，E表示取出的是水果糖，所以问题就变成了在已知E的情况下，来自一号碗的概率有多大，即求P(H1|E)。我们把这个概率叫做"后验概率"，即在E事件发生之后，对P(H1)的修正。

后面计算就不说了，老生常谈，主要是把概念规范化，不要把数学语言和日常用于混淆在一起。

例子2：

已知某种疾病的发病率是0.001，即1000人中会有1个人得病。现有一种试剂可以检验患者是否得病，它的准确率是0.99，即在患者确实得病的情况下，它有99%的可能呈现阳性。它的误报率是5%，即在患者没有得病的情况下，它有5%的可能呈现阳性。现有一个病人的检验结果为阳性，请问他确实得病的可能性有多大？

假定A事件表示得病，那么P(A)为0.001。这就是"先验概率"，即没有做试验之前，我们预计的发病率。再假定B事件表示阳性，那么要计算的就是P(A|B)。这就是"后验概率"，即做了试验以后，对发病率的估计。

其实在医学统计学里，99%不叫作准确率，而是sensitivity。

5%也不叫作误报率，而叫做假阳性率，与之对应的是specificity。

计算过程可以参照原文。

参考：Precision and recall

实例：垃圾邮件过滤

贝叶斯过滤器是一种统计学过滤器，建立在已有的统计结果之上。所以，我们必须预先提供两组已经识别好的邮件，一组是正常邮件，另一组是垃圾邮件。

我们用这两组邮件，对过滤器进行"训练"。这两组邮件的规模越大，训练效果就越好。Paul Graham使用的邮件规模，是正常邮件和垃圾邮件各4000封。

"训练"过程很简单。首先，解析所有邮件，提取每一个词。然后，计算每个词语在正常邮件和垃圾邮件中的出现频率。比如，我们假定"sex"这个词，在4000封垃圾邮件中，有200封包含这个词，那么它的出现频率就是5%；而在4000封正常邮件中，只有2封包含这个词，那么出现频率就是0.05%。（【注释】如果某个词只出现在垃圾邮件中，Paul Graham就假定，它在正常邮件的出现频率是1%，反之亦然。这样做是为了避免概率为0。随着邮件数量的增加，计算结果会自动调整。）

有了这个初步的统计结果，过滤器就可以投入使用了。

Github上有这个的代码，可以去跑一跑。

前面已经说了贝叶斯是一种思想，它可以被用在任何统计模型上。这也就是为什么你能听到各种贝叶斯相关的术语：贝叶斯线性回归、贝叶斯广义线性回归等等。

接下来就从最简单的贝叶斯线性回归为例，来讲解贝叶斯思想是如何与传统统计模型相结合的。

参考：贝叶斯线性回归（Bayesian Linear Regression）

如何通俗地解释贝叶斯线性回归的基本原理？

从贝叶斯的观点看线性分类和线性回归