进制(二进制、八进制、十进制、十六进制)
1、常用进制
十进制
十进制的基数为10,数码由0-9组成,计数规律逢十进一。
二进制
二进制有两个特点:它由两个数码0,1组成,二进制数运算规律是逢二进一。
二进制数的加法和乘法基本运算法则各有四条,如下:
0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=10
0×0=0,0×1=0,1×0=0,1×1=1
八进制
八进制的基数为8,数码由0-7组成,计数规律逢八进一。
十六进制
十六进制数有两个基本特点:它由十六个数码:数字0~9加上字母A-F组成(它们分别表示10~15),十六进制数运算规律是逢十六进一。
2、进制转化
十进制--->二进制
把上面的一段改成用表格来表示,则为:
被除数 计算过程 商 余数
6 6/2 3
被除数 |
计 算 过程 |
商 |
余 数 |
6 |
6/2 |
3 |
0 |
3 |
3/2 |
1 |
1 |
1 |
1/2 |
0 |
1 |
(在计算机中,÷用 / 来表示)
二进制--->十进制
二进制数第0位的权值是2的0次方,第1位的权值是2的1次方……
所以,设有一个二进制数:0110 0100,转换为10进制为:
下面是竖式:
0110 0100 换算成十进制
从右往左开始换算
第0位 0 * 20 = 0
第1位 0 * 21 = 0
第2位 1 * 22 = 4
第3位 0 * 23 = 0
第4位 0 * 24 = 0
第5位 1 * 25 = 32
第6位 1 * 26 = 64
第7位 0 * 27 = 0
公式:第N位2(N)
---------------------------
100
用横式计算为:
0 * 20 + 0 * 21 + 1 * 22 + 0 * 23 + 0 * 24 + 1 * 25 + 1* 26 + 0 * 27 = 100
除0以外的数字0次方都是1,但0乘以多少都是0,所以我们也可以直接跳过值为0的位:
1 * 22 + 1 * 25 +1*26 = 100
十进制--->八进制
10进制数转换成8进制的方法,和转换为2进制的方法类似,唯一变化:除数由2变成8。
来看一个例子,如何将十进制数120转换成八进制数。
用表格表示:
被除数 |
计算过程 |
商 |
余数 |
120 | 120/8 | 15 | 0 |
15 | 15/8 | 1 | 7 |
1 | 1/8 | 0 | 1 |
120转换为8进制,结果为:170。
八进制--->十进制
八进制就是逢8进1。
八进制数采用 0~7这八数来表达一个数。
八进制数第0位的权值为8的0次方,第1位权值为8的1次方,第2位权值为8的2次方……
所以,设有一个八进制数:1507,转换为十进制为:
用竖式表示:
1507换算成十进制。
第0位 7 * 80 = 7
第1位 0 * 81 = 0
第2位 5 * 82 = 320
第3位 1 * 83 = 512
--------------------------
839
同样,我们也可以用横式直接计算:
7 * 80 + 0 * 81 + 5 * 82 + 1 * 83 = 839
结果是,八进制数 1507 转换成十进制数为 839
十进制--->十六进制
10进制数转换成16进制的方法,和转换为2进制的方法类似,唯一变化:除数由2变成16。
同样是120,转换成16进制则为:
被除数 |
计算过程 |
商 |
余数 |
120 |
120/16 |
7 |
8 |
7 |
7/16 | 0 | 7 |
120转换为16进制,结果为:78。
十六进制--->十进制
16进制就是逢16进1,但我们只有0~9这十个数字,所以我们用A,B,C,D,E,F这六个字母来分别表示10,11,12,13,14,15。字母不区分大小写。
十六进制数的第0位的权值为16的0次方,第1位的权值为16的1次方,第2位的权值为16的2次方……
所以,在第N(N从0开始)位上,如果是是数 X (X 大于等于0,并且X小于等于 15,即:F)表示的大小为 X * 16的N次方。
假设有一个十六进数 2AF5, 那么如何换算成10进制呢?
用竖式计算:
2AF5换算成10进制:
第0位: 5 * 160 = 5
第1位: F * 161 = 240
第2位: A * 162 = 2560
第3位: 2 * 163 = 8192
-------------------------------------
10997
直接计算就是:
5 * 160 + F * 161 + A * 162 + 2 * 163 = 10997
(别忘了,在上面的计算中,A表示10,而F表示15)
现在可以看出,所有进制换算成10进制,关键在于各自的权值不同。
假设有人问你,十进数 1234 为什么是 一千二百三十四?你可以给他这么一个算式:
1234 = 1 * 103 + 2 * 102 + 3 * 101 + 4 * 100
二进制--->八进制
(11001.101)(二)
整数部分: [1] 从后往前每三位一组,缺位处用0填补,然后按十进制方法进行转化, 则有:
001=1
011=3
然后我们将结果按从下往上的顺序书写就是:31,那么这个31就是二进制11001的八进制形式
八进制--->二进制
(31.5)(八)
整数部分:从后往前每一位按十进制转化方式转化为三位二进制数,缺位处用0补充 则有:
1---->1---->001
3---->11
然后我们将结果按从下往上的顺序书写就是:11001,那么这个11001就是八进制31的二进制形式
二进制--->十六进制
二进制和十六进制的互相转换比较重要。不过这二者的转换却不用计算,每个C,C++程序员都能做到看见二进制数,直接就能转换为十六进制数,反之亦然。
我们也一样,只要学完这一小节,就能做到。
首先我们来看一个二进制数:1111,它是多少呢?
你可能还要这样计算:1 * 20 + 1 * 21 + 1 * 22 + 1 * 23 = 1 * 1 + 1 * 2 + 1 * 4 + 1 * 8 = 15。
然而,由于1111才4位,所以我们必须直接记住它每一位的权值,并且是从高位往低位记,:8、4、2、1。即,最高位的权值为23 = 8,然后依次是 22 = 4,21=2, 20 = 1。
记住8421,对于任意一个4位的二进制数,我们都可以很快算出它对应的10进制值。
下面列出四位二进制数xxxx 所有可能的值(中间略过部
仅四位的二进制数 |
快速计算方法 | 十进制值 | 十六进制值 |
1111 |
8+4+2+1 |
15 |
F |
1110 |
8+4+2+0 | 14 | E |
1101 |
8+4+0+1 |
13 |
D |
1100 |
8+4+0+0 |
12 |
C |
1011 |
8+0+2+1 |
11 |
B |
1010 |
8+0+2+0 |
10 |
A |
1001 |
8+0+0+1 |
9 |
9 |
…… | |||
0001 |
0+0+0+1 |
1 | 1 |
0000 |
0+0+0+0 |
0 | 0 |
二进制数要转换为十六进制,就是以4位一段,分别转换为十六进制。
如:
二进制数 | 1111 1101 | 1010 0101 | 1001 1011 |
对应的十六进制数 | FD | A5 | 9B |
十六进制--->二进制
反过来,当我们看到 FD时,如何迅速将它转换为二进制数呢?
先转换F:
看到F,我们需知道它是15(可能你还不熟悉A~F这六个数),然后15如何用8421凑呢?应该是8 + 4 + 2 + 1,所以四位全为1 :1111。
接着转换 D:
看到D,知道它是13,13如何用8421凑呢?应该是:8 + 4 + 1,即:1101。
所以,FD转换为二进制数,为: 1111 1101
由于十六进制转换成二进制相当直接,所以,我们需要将一个十进制数转换成2进制数时,也可以先转换成16进制,然后再转换成2进制。
比如,十进制数 1234转换成二制数,如果要一直除以2,直接得到2进制数,需要计算较多次数。所以我们可以先除以16,得到16进制数:
被除数 |
计算过程 |
商 |
余数 |
1234 |
1234/16 |
77 |
2 |
77 |
77/16 |
4 |
13(D) |
4 |
4/16 |
0 |
4 |
结果16进制为: 0x4D2
然后我们可直接写出0x4D2的二进制形式: 0100 1101 0010。
其中对映关系为:
0100 -- 4
1101 -- D
0010 -- 2
同样,如果一个二进制数很长,我们需要将它转换成10进制数时,除了前面学过的方法是,我们还可以先将这个二进制转换成16进制,然后再转换为10进制。
下面举例一个int类型的二进制数:
01101101 11100101 10101111 00011011
我们按四位一组转换为16进制: 6D E5 AF 1B
再转换为10进制:6*167+D*166+E*165+5*164+A*163+F*162+1*161+B*160=1,843,769,115
3、进制表
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