背包算法（Knapsack Algorithm）

导引问题-食堂就餐

现有餐券1张，面值10元。

菜肴N种：炸鸡腿8元；大排5元；荷包蛋：4元；炒青菜：3元；番茄炒蛋：4元……

餐券的特点：一次性使用，不找零；

问：若每种菜只能选一个，为了充分发挥餐券的作用，最多可以消费多少元？

什么是背包问题：

背包问题的基本模型：

给你一个容量为V的背包和若干种物品，在一定的限制条件下（每种物品都占用一定容量），问最多能放进多少价值的物品？

此类问题为指数级的问题

背包问题：

1.最典型、最基本的DP问题；

2.理解并熟练掌握背包问题意义重大；

3.DP问题中“状态”概念的理解；

4.背包的每个容量就是“状态”（思考一下杯子倒水问题中的状态转移）；

背包问题的分类

1）01背包

2）完全背包

3）多重背包

4）二维费用背包

5）混合三种背包

6）分组背包

7）有依赖的背包

一、01背包

01背包（最基础的背包问题）：

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

问题特点：每种物品仅有一件，可以选择放或不放；

思考：在每个物品都有可能被选中的前提下，如何构造“子问题”？

无序变有序的方法：依次考虑前1、前2、前3...前i个物品；

状态定义：f[i][v]表示前i件物品放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。

例1：题目链接：Problem - 2602 (hdu.edu.cn)

Sample Input

5 10

1 2 3 4 5

5 4 3 2 1

Sample Output

解题代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;int dp[1001],w[1000],c[1000];
int main()
{int num,n,V,i,j;cin>>num;while(num--){cin>>n>>V;for(int i=0;i<n;i++)cin>>w[i];for(int i=0;i<n;i++)cin>>c[i];memest(dp,0,sizeof(dp));for(int i=0;i<n;i++)for(int j=V;j>=c[i];j--)dp[j]=max(dp[j],dp[j-c[i]]+w[i]);cout<<dp[V];}
}

运行结果

01问题的伪代码如下：

for i = 1 to n // 所有物品

for j = V to v[i] // 思考：为何没必要循环到0？

dp[j] = max(dp[j]，dp[j-v[i]] + w[i])；

空间成功优化到一维V。

二、完全背包

完全背包特点：一种物品可以取无数个

可否转化成01背包问题？

朴素的转化方式是？

回忆01背包为何要对容量按照逆序循环？

和01背包类似，不过就是正着写！

深度思考：这类能不能达到的问题应该怎么实现？

三、多重背包

多重背包特点：

一种物品有C个（既不是固定的1个，也不是无数个）

优化的方法：

运用二进制，进行物品拆分，转化成01背包。

比如：13个相同的物品可分成4组（1，2，4，6）

用这4组可以组成任意一个1~13之间的数！

原理：一个数总可以用2^k表示

而且总和等于13，所以不会组成超过13的数

所以可将一种有C个的物品拆分成：

1，2，4，...，2^(k-1)，C-（2^k-1）

然后进行01背包。

优化部分的参考代码：

int t=1;
while(x>=t)
{v[cnt]=a*t;c[cnt++]=b*t;x-=t;t<<=1;
}if(x)
{v[cnt]=a*x;c[cnt++]=b*x;
}

四、二维费用背包

二维费用背包问题：

对于每件物品，具有两种不同的费用；选择这件物品必须同时付出这两种代价；对于每种代价都有一个可付出的最大值（比如，背包容量、最大承重），求怎样选择物品可以得到最大的价值。

设第i件物品所需的两种代价分别为a[i]和b[i]，两种代价可付出的最大值（比如体积和重量）分别为V和U，物品的价值为w[i]。

对应算法：费用加了一维，只需状态也加一维即可！

设f[i][v][u]表示前i件物品付出两种代价分别为v和u时可获得的最大价值，状态转移方程则为：

f[i][v][u]=max{f[i-1][v][u]，f[i-1][v-a[i]][u-b[i]]+w[i]}

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