[100天每天一个算法--第1天] 背包算法

其实PHP程序员需不需要学算法，要不要深挖算法，一直没个定论。博主本人准大四，在找实习的过程中逐渐发现学习算法的重要性，博主以前在学校的工作室老大说过一句话，熟悉算法，可以让你的天花板更高一些，所以便有了这个博客系列，每天一个算法来由简到难逐步提升自己的编程能力。
今天博主想讲一下背包算法.。
由一道题开始，情景如下:
0-1背包问题：
n个物品和1个背包，每个物品i对应的重量为wi，价值为vi，背包的容量为W。每个物品只有一件，要么装入，要么不装入，不可拆分。如何选取物品装入背包，使背包所装入的物品的总价值最大？要求算法输出最优值和最优解。
1)问题分析
在选择装入背包的物品时，对于物品i只有两种选择，即装入背包或不装入背包。不能将物品i装入背包多次，也不能只装入物品i的一部分。假设xi表示物品i被装入背包的情况，当xi=0时，表示物品没有被装入背包；当xi=1时，表示物品被装入背包。
2)算法思想及算法设计
算法思想：
根据问题分析，设计出如下的约束条件和目标函数

于是，问题归结为寻找一个满足约束条件，并使目标函数达到最大的解向量X=(x1,x2,x3,…xn)。
由于0-1背包问题的解是用向量(x1,x2,x3,…xn)来描述的。该问题可以看做是决策一个n元0-1向量(x1,x2,x3,…xn)。对于任意一个分量xi的决策是“决定xi=1或xi=0”，i=1，2，3…,n。对于xi-1决策后，序列(x1,x2,x3,…xn)已被确定，在决策xi时，问题处于下列两种状态之一：
（1）背包容量不足以装入物品i，则xi=0，装入背包的价值不增加
（2）背包容量足以装入物品i，则xi=1，装入背包的价值增加vi
在这两种情况下，装入背包的价值最大者应该是对xi决策后的价值
令C[i][j]表示子问题的最优值，即。那么，C[i-1][j-wixi]表示该问题的子问题的最优值。
经分析可得最优值的递归定义式为：

算法设计：
1：采用数组w[n]来存放n个物品的重量;数组v[n]来存放n个物品的价值，背包容量为W，数组C[n+1][w+1]来存放每一次迭代的执行结果；数组x[n]用来存储所装入背包的物品状态。
2：初始化。按上面递归式初始化数组C
3：循环阶段。按上面递归式确定前i个物品能装入背包的情况下得到的最优值
3-1：i=1时，求出C[1][j],1≤j≦W.
3-2: i=2时，求出C[2][j],1≤j≤W
以此类推，直到。。。。
3-n： i=n时，求出C[n][W],1≤j≤W。此时，C[n][W]便是最优值。
4：确定装入背包的具体物品。从C[n][W]的值往前推，如果C[n][W]>C[n-1][W]，则xn=1,前n-1个物品被装入容量W-wn的背包中，否则xn=0。以此类推。。。。
得到以下关系式：
xi=0， j=j 当C[i][j] = C[i-1][j]
Xi=1, j =j-wi 当C[i][j]>C[i-1][j]
按照式子，即可确定装入背包的具体物品
3)图解
物品重量：w1 =7 w2 =23 w3=25 w4 =24
物品价值：v1 =1 v2 =8 v3 =19 v4 =11
根据算法设计步骤，图解如下
采用二维数组C[5][53]来存放各个子问题的最优值，行i表示物品，列j表示背包容量，表中数据表示C[i][j]
(1)根据公式初始化第0行和第0列，如下图所示

(2)i=1时，求出C[1][j],1≤j≤W。
由于物品1的重量w1=7，价值等于v1=1，分两种情况讨论
1.如果j < wi,即j<7时,C[1][j] = C[0][j]
2.如果j ≥ w1,即j≥7时,C[1][j]=max{C[0][j],C[0][j-w1]+v1}=max{C[0][j]}，C[0][j-7]+1}
i=1时的内容如下图

(3)i=2时，求出C[2][j],1≤j≤W。
由于物品2的重量w2=23，价值等于v2=8，分两种情况讨论
1.如果j < w2,即j<23时,C[2][j] = C[1][j]
2.如果j ≥ w2,即j≥23时,C[2][j]=max{C[1][j],C[1][j-w2]+v2}=max{C[1][j]}，C[1][j-23]+8}
i=2时的内容如下图

(4)i=3时，求出C[3][j],1≤j≤W。
由于物品3的重量w3=25，价值等于v3=19，分两种情况讨论
1.如果j < w3,即j<25时,C[3][j] = C[2][j]
2.如果j ≥ w3,即j≥25时,C[3][j]=max{C[2][j],C[2][j-w3]+v3}=max{C[2][j]}，C[2][j-25]+19}
i=3时的内容如下图

(5)i=4时，求出C[4][j],1≤j≤W。
由于物品4的重量w4=24，价值等于v4=11，分两种情况讨论
1.如果j < w4,即j<24时,C[4][j] = C[3][j]
2.如果j ≥ w4,即j≥24时,C[4][j]=max{C[3][j],C[3][j-w4]+v4}=max{C[4][j]}，C[4][j-24]+11}
i=4时的内容如下图

最终，从图5可以看出，装入背包的物品的最大价值是30
(6)从C[n][W]的值往前推，最终可求出装入背包的具体物品，即问题的最优解,
初始时,j=W=52,i=4。
C[4][52]>C[3][52],第4个物品被装入背包,x4=1,j=j-24=28.
C[3][28]>C[2][28],第3个物品被装入背包,x3=1,j=j-25=3.
C[2][3]=C[1][3],第2个物品没有被装入背包,x2=0.
C[1][3]=C[0][3],第1个物品没有被装入背包,x1=0.
求得问题最优解为X=(x1,x2,x3,x4)=(0,0,1,1);
4)算法描述

<?php
/*
*背包算法类
*/
class bag {private $n;//物品的数量private $W;//背包总容量private $w = array();//物品的重量数组private $v = array();//物品的价值public function __construct ($n,$W,$w,$v) {//构造函数初始化基本数据$this->n = $n;$this->W = $W;$this->w = $w;$this->v = $v;}//背包算法public function knapsack () {$n = $this->n;$w = $this->w;$v = $this->v;$W = $this->W;$C[$n][$n] = [];$x[$n] = [];for ($i=0; $i<=$n; $i++) {$C[$i][0] = 0; //初始化第0列}for ($i = 0; $i <= $W; $i++) {$C[0][$i] = 0; //初始话第0行}for ($i = 1;$i <= $n;$i++) { //计算C[$i][$j]for ($j=1; $j <= $W; $j++) { if ($j < $w[$i-1]) {$C[$i][$j] = $C[$i-1][$j];} else {$C[$i][$j] = max($C[$i-1][$j],$C[$i-1][$j-$w[$i-1]] + $v[$i-1]);}}}//构造最优解$j = $W;for ($i = $n;$i > 0; $i--) {if ($C[$i][$j] > $C[$i-1][$j]) {$x[$i] = 1;$j -= $w[$i-1];} else {$x[$i] = 0;}}ksort($x);return $data = ['maxvalue' => $C[$n][$W], 'maxroad' => $x];//maxvalue为最大价值，maxroad为最优解}
}

5)算法分析验证
a.算法复杂度分析（时间复杂度、空间复杂度）
时间复杂度:在knapsack中，第三个循环是两层嵌套的for循环，为此，可选定语句 if ( j<j<j w[$i-1] ) 作为基本语句，其运行时间为n × W，由此可见，时间复杂度为O(n×W)。
空间复杂度:与时间复杂度一样均为O(n×W)
b.算法正确性验证
浏览器输入代码地址没有报错
6)算法实现和测试
a. 运行环境
php-5.6.27 Apache 2.4.23 windows系统
b. 输入数据

  $weight = [7,23,25,24];//输入物品重量数组$value = [1,8,19,11];//输入物品价值$bag = new bag(4,52,$weight,$value); //实例化背包类$data = $bag->knapsack();//调用背包算法var_dump($data);//打印结果

c. 输出结果

    array(2) {["maxvalue"] => int(30)["maxroad"] =>array(4) {[1] => int(0)[2] => int(0)[3] => int(1)[4] => int(1)}}

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