[XSY3343] 程序锁（DP）

XSY3343

先考虑如何判定一个填好的序列会不会gg：
若∃p,q,使s′[p+1]=t′[q+1]=−1\exist p,q,使s'[p+1]=t'[q+1]=-1∃p,q,使s′[p+1]=t′[q+1]=−1且∑i=1ps′[i]+∑j=1qt′[j]≤0\sum_{i=1}^{p}s'[i]+\sum_{j=1}^{q}t'[j]\leq 0∑i=1ps′[i]+∑j=1qt′[j]≤0，则这个序列必gg。

那么我们只需找到sums′=mins′[p+1]=−1{∑i=1ps′[i]}sum_{s'}=min_{s'[p+1]=-1}\{\sum_{i=1}^{p}s'[i]\}sums′=mins′[p+1]=−1{∑i=1ps′[i]}，sumt′=mint′[q+1]=−1{∑j=1qt′[j]}sum_{t'}=min_{t'[q+1]=-1}\{\sum_{j=1}^{q}t'[j]\}sumt′=mint′[q+1]=−1{∑j=1qt′[j]}，判断sums′+sumt′sum_{s'}+sum_{t'}sums′+sumt′是否≤0\leq0≤0即可判断序列会不会gg。

为了方便，我们稍微转换一下条件，把s′[p+1],t′[q+1]s'[p+1],t'[q+1]s′[p+1],t′[q+1]也纳入sums′,sumt′sum_{s'},sum_{t'}sums′,sumt′中，即定义：
sums′=mins′[p]=−1{∑i=1ps′[i]}sum_{s'}=min_{s'[p]=-1}\{\sum_{i=1}^{p}s'[i]\}sums′=mins′[p]=−1{i=1∑ps′[i]}
特别地，若s′[]s'[]s′[]全为1，sums′=∑i=1∣s′∣s′[i]sum_{s'}=\sum_{i=1}^{|s'|}s'[i]sums′=∑i=1∣s′∣s′[i]
sumt′=mint′[q]=−1{∑i=1qt′[i]}sum_{t'}=min_{t'[q]=-1}\{\sum_{i=1}^{q}t'[i]\}sumt′=mint′[q]=−1{i=1∑qt′[i]}
特别地，若t′[]t'[]t′[]全为1，sumt′=∑i=1∣t′∣t′[i]sum_{t'}=\sum_{i=1}^{|t'|}t'[i]sumt′=∑i=1∣t′∣t′[i]

那么如果s′[],t′[]s'[],t'[]s′[],t′[]都不全为1，
有若sums′+sumt′≤−2sum_{s'}+sum_{t'}\leq-2sums′+sumt′≤−2，则序列必gg。
也即若sums′+sumt′≥−1sum_{s'}+sum_{t'}\geq-1sums′+sumt′≥−1，序列一定不会gg。

否则，若sums′+sumt′≥0sum_{s'}+sum_{t'}\geq0sums′+sumt′≥0，序列一定不会gg。

然后考虑DP，正着DP很困难，考虑倒着DP，这样每次只会增加一个小前缀。

设fi,j,kf_{i,j,k}fi,j,k表示填完[i,n][i,n][i,n]，这些位置相对于iii的前缀和中，以−1-1−1结尾的最小前缀和=j=j=j的方案数，kkk表示jjj是否等于总和

如果i−1i-1i−1位可以填111，那么有fi,j,0→fi−1,j+1,0,fi,j,1→fi−1,j+1,1f_{i,j,0}\rightarrow f_{i-1,j+1,0},f_{i,j,1}\rightarrow f_{i-1,j+1,1}fi,j,0→fi−1,j+1,0,fi,j,1→fi−1,j+1,1，因为在最前面加一个111并不改变原来的最小前缀和

如果i−1i-1i−1位可以填−1-1−1，那么有fi,j,0→fi−1,min⁡(−1,j−1),0,fi,j,1→fi−1,min⁡(−1,j−1),[j≤0]f_{i,j,0}\rightarrow f_{i-1,\min(-1,j-1),0},f_{i,j,1}\rightarrow f_{i-1,\min(-1,j-1),[j\le0]}fi,j,0→fi−1,min(−1,j−1),0,fi,j,1→fi−1,min(−1,j−1),[j≤0]，因为增加了一个值为−1-1−1的前缀和，所以原来j>0j>0j>0且最小前缀和=j=j=j的方案会变为最小前缀和=−1≠j−1=-1\ne j-1=−1=j−1

对两个序列分别DP后直接统计答案即可

总结：
倒着DP 和对s′,t′s',t's′,t′两个序列分别DP 这两点太巧妙了%%%

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