梯度、梯度法、python实现神经网络的梯度计算

【机器学习】梯度、梯度法、python实现神经网络的梯度计算

一、python实现求导的代码：
二、what is 梯度
三、使用梯度法寻找神经网络的最优参数
四、神经网络的梯度计算

一、python实现求导的代码：

导数含义也就是：变量x一个微小的变化将导致f(x)的值在多大程度上变化。

def numerical_diff(f, x):h = 1e-4return (f(x+h) - f(x-h)) / (2*h)

偏导数怎么求，对哪个变量求偏导，就把其他变量固定为某个值，然后就像求一元函数导数那样对这个变量求导。

举个例子，对x0^ 2+x1 ^2=y这个二元函数，求x0=3，x1=4时，对x0的偏导数。

代码如下：

def numerical_diff(f, x):h = 1e-4return (f(x+h) - f(x-h)) / (2*h)def func_1(x):return x[0]**2+x[1]**2# 求x0=3，x1=4时，x0的偏导数def func_temp1(x0):return x0**2+4**2if __name__ == '__main__':res = numerical_diff(func_temp1,3.0)print(res)

输出：

6.00000000000378

二、what is 梯度

由全部变量的偏导数汇总而成的向量叫梯度。

求梯度代码如下：

函数 _numerical_gradient_no_batch 的参数f为函数，x为Numpy数组。

grad = np.zeros_like(x)生成一个形状和x相同，所有元素均为0的数组，梯度就存到这里面。

这里面fxh1计算的时候，如果在这(x[0],x[1])这一点对x[0]求编导，变的是x[0]，x[1]不变。而且对x[1]求偏导的时候，变的是x[1]，x[0]不变。所以，要用tmp_val存变化前的数，并且，在求完偏导后把一切恢复。

下面代码是对x0 ^ 2+x1 ^ 2=y这个二元函数，求点(3，4)处的梯度。

import sys, os
sys.path.append(os.pardir)  # 为了导入父目录的文件而进行的设定
import numpy as npdef _numerical_gradient_no_batch(f, x):h = 1e-4  # 0.0001grad = np.zeros_like(x)for idx in range(x.size):tmp_val = x[idx]x[idx] = float(tmp_val) + hfxh1 = f(x)  # f(x+h)x[idx] = tmp_val - hfxh2 = f(x)  # f(x-h)grad[idx] = (fxh1 - fxh2) / (2 * h)x[idx] = tmp_val  # 还原值return graddef func_1(x):return x[0]**2+x[1]**2if __name__ == '__main__':#求点(3，4)处的梯度res = _numerical_gradient_no_batch(func_1, np.array([3.0, 4.0]))print(res)

结果：

[6. 8.]

用python画很多点的梯度向量，那么就发现一个很神奇的结果：梯度指向函数最小值，离最小值越远，箭头越大。

严格来讲，梯度指示的方向是各点处函数值减小最多的方向。无法保证梯度所指方向就是函数最小值。

虽然梯度的方向不一定指向最小值，但是沿着它的方向能够最大限度减小函数的值，这就是梯度法。

三、使用梯度法寻找神经网络的最优参数

通过不断地沿着梯度方向前进，逐渐减小函数值的过程就是梯度法。

梯度法的数学表示：

η表示更新量，在神经网络的学习中，称为学习率（ learningrate）。学习率决定在一次学习中，应该学习多少，以及在多大程度上更新参数。

这个数学表示是什么意思，其实就是沿着梯度走，如上图，(x0,x1)取(0,2)时，梯度是(0,4)。这里的x0-η乘f在x0处的偏导，表示沿那个梯度方向走的一小步。学习率小的话，每次走的步子会很小，学习率大的话，步子就大。

用python实现梯度法的代码如下：

f是要进行最优化的函数， init_x是初始值， lr是学习率， step_num是梯度法的重复次数。

gradient_descent函数里面调用了numerical_gradient函数，用来求函数的梯度。gradient_descent函数里面会一直循环step_num次梯度法，每一次都用梯度乘以学习率得到新值，并更新。最后如果梯度法进行的顺利，将走到最小值的位置。

def gradient_descent(f, init_x, lr=0.01, step_num=100):x = init_xx_history = []for i in range(step_num):x_history.append( x.copy() )grad = numerical_gradient(f, x)x -= lr * gradreturn x, np.array(x_history)

下面这个例子，用了梯度法求f(x0,x1)=x0^ 2+x1 ^2的最小值。最终结果接近(0,0)，说明我们的结果基本正确，因为最小值确实是在(0,0)点取到。

import numpy as np
import matplotlib.pylab as plt
from gradient_2d import numerical_gradientdef gradient_descent(f, init_x, lr=0.01, step_num=100):x = init_xx_history = []for i in range(step_num):x_history.append( x.copy() )grad = numerical_gradient(f, x)x -= lr * gradreturn x, np.array(x_history)def function_2(x):return x[0]**2 + x[1]**2init_x = np.array([-3.0, 4.0])    lr = 0.1
step_num = 20
x, x_history = gradient_descent(function_2, init_x, lr=lr, step_num=step_num)
print(x)plt.plot( [-5, 5], [0,0], '--b')
plt.plot( [0,0], [-5, 5], '--b')
plt.plot(x_history[:,0], x_history[:,1], 'o')plt.xlim(-3.5, 3.5)
plt.ylim(-4.5, 4.5)
plt.xlabel("X0")
plt.ylabel("X1")
plt.show()

输出：

[-0.03458765  0.04611686]

学习率取的过大或者过小都无法得到好结果。

对上面代码进行修改：

学习率过大的话，结果会发散成一个很大的值。

lr = 10
step_num = 100
x, x_history = gradient_descent(function_2, init_x, lr=lr, step_num=step_num)
print(x)

结果：

[-2.58983747e+13 -1.29524862e+12]

学习率过小，基本上没怎么更新就结束了。

lr = 1e-10
step_num = 100
x, x_history = gradient_descent(function_2, init_x, lr=lr, step_num=step_num)
print(x)

结果：

[-2.99999994  3.99999992]

四、神经网络的梯度计算

神经网络的学习中的梯度，指的是损失函数关于权重参数的梯度。

假设，有一个形状为2*3的权重W的神经网络，损失函数是L，下面是该网络权重和梯度的数学表示。

下面是一个例子，首先要实现一个simpleNet类，这个网络的权重矩阵是2*3的。

最后输出的dw如下，这个是梯度。

[[ 0.12894287  0.31807705 -0.44701992][ 0.19341431  0.47711557 -0.67052988]]

比如，如果w11增加h，那么损失函数的值会增加0.47h。从减小损失函数值的观点看，w11应该向负方向更新。

import sys, os
sys.path.append(os.pardir)  # 为了导入父目录中的文件而进行的设定
import numpy as np
from common.functions import softmax, cross_entropy_error
from common.gradient import numerical_gradientclass simpleNet:def __init__(self):self.W = np.random.randn(2,3)def predict(self, x):return np.dot(x, self.W)def loss(self, x, t):z = self.predict(x)y = softmax(z)loss = cross_entropy_error(y, t)return lossnet = simpleNet()
print(net.W) # 权重参数x = np.array([0.6, 0.9])#输入数据
p = net.predict(x) #由输入经过神经网络得到的输出预测值
print(p)
print(np.argmax(p))#最大值的索引t = np.array([0, 0, 1]) # 正确解标签
print(net.loss(x, t)) #输出损失函数的值def f(W):return net.loss(x, t)
# f = lambda w: net.loss(x, t)dW = numerical_gradient(f, net.W)#求梯度print(dW)

输出：

[[-0.66110535 -2.3121261   0.61870626][-0.43594672  1.66798289 -1.09922476]]
[-0.78901526  0.11390894 -0.61807852]
1
1.366622688011303
[[ 0.12894287  0.31807705 -0.44701992][ 0.19341431  0.47711557 -0.67052988]]