第4讲李群和李代数

什么是群？什么是李群？

群是一种集合加上一种运算的代数结构。这种运算必须满足“凤姐咬你”这四条性质。

常见的群有：特殊正交群 $S0(n)$ ，特殊欧式群 $SE(n)$ ，它们都对矩阵乘法构成群。

如果对上一讲的内容有印象的话，会回忆起来：

三维旋转矩阵构成了特殊正交群 $SO(3)=\left \{ R\epsilon \mathbb{R}^{3\times 3}|RR^T=1,det\left ( R \right )=1 \right \}$
变换矩阵构成了特殊欧式群 $SE(3)= \left \{ T= \begin{bmatrix} R &t \\ 0^T&1 \end{bmatrix} \epsilon \mathbb{R}^{4\times 4} | R\epsilon \mathbb SO\left ( 3 \right ),t\epsilon \mathbb{R}^3 \right \}$

$SO(3)$ 和 $SE(3)$ 对矩阵乘法都是封闭的，矩阵乘法对应着旋转或变换的复合，两个旋转矩阵相乘表示做了两次旋转、两个变换矩阵相乘表示做了两次欧式变换。

那么，什么是李群呢？

李群，是指具有连续（光滑）性质的群。

什么是具有连续性质的群？看一下这个例子：显然整数和整数的加法构成了一个群（ $\mathbb{Z}$ ，+），但是这是一个离散的群，因为中间有很多的数都取不到。

$SO(n)$ 和 $SE(n)$ 在实数空间上是连续的，所以它们是李群。

我们也可以直接直观的想象出来， $SO(n)$ 和 $SE(n)$ 都是描述刚体在空间中的运动的，而刚体在空间中的运动肯定是连续的，所以它们是李群。

什么是李代数？

每个李群都有对应的李代数。李代数描述了李群的局部性质。

李代数的定义如下：李代数由一个集合 $V$ ，一个数域 $F$ 和一个二元 $[,]$ 运算组成，如果它们满足以下性质，则成 $(V,F,[,])$ 为一个李代数，记作 $g$ 。

封闭性： $\forall X,Y\epsilon V,[X,Y]\epsilon V$
双线性： $\forall X,Y,Z\epsilon V,[aX+bY,Z]=a[X,Z]+b[Y,Z],[Z,aX+bY]=a[Z,X]+b[Z,Y]$
自反性： $\forall X\epsilon V,[X,X]=0$
雅可比等价： $\forall X,Y,Z\epsilon V,[X,[Y,Z]]=[Z,[X,Y]]=[Y,[Z,X]]=0$

其中李代数中的二元运算称为李括号。

李群和李代数的关系

考虑任意一个旋转矩阵 $R$ ，它满足： $RR^{T}=I$

因为 $R$ 表达的是相机的旋转，它会随时间连续的变化，即为时间的函数： $R(t)$

但是 $R(t)$ 仍然是旋转矩阵，则有： $R(t)R(t)^{T}=I$

等式的两边同时对时间 $t$ 进行求导，得到： ${\color{Red} \dot{R(t)}R(t)^{T}+R(t)\dot{R(t)^{T}}=0}$

整理得到： $\dot{R(t)}R(t)^{T}=-[\dot{R(t)}R(t)^{T}]^{T}$

由反对称的定义可知： $\dot{R(t)}R(t)^{T}$ 是一个反对称矩阵。

先回忆一下之前的知识：

在介绍向量的叉积，引入了 $\Lambda$ 符号，将一个向量映射成一个反对称矩阵。

同理，对于任意一个反对称矩阵，我们也可以找到一个向量，与之对应，我们把这个运算用 $\vee$ 表示。

用数学公式就可以表达为：

$\vec{a}^{\Lambda }=A=\begin{bmatrix} 0 & -a_{3} & a_{2} \\ a_{3} & 0 & -a_{1} \\ -a_{2} & a_{1} &0 \end{bmatrix}$ ,

$A^{\vee }=\vec{a}$

于是，由于 $\dot{R(t)}R(t)^{T}$ 是一个反对称矩阵，于是可以找到一个三维向量 $\phi (t)\epsilon \mathbb{R}^{3}$ 与之对应，即： $\dot{R(t)}R(t)^{T}=\phi (t)^{\Lambda }$

等式两边同时右乘 $R(t)$ ，由于 $R(t)$ 正交，于是有： $\dot{R(t)}=\phi (t)^{\Lambda }R(t)$ ，

可以看到，每对旋转矩阵 ${\color{Red} R(t)}$ 求一次导数，就相当于对它左乘一个 ${\color{Red} \phi(t)^{\Lambda }}$

为方便讨论，我们设 $t_{0}=0$ ，并设此时对应的旋转矩阵为 $R(t)=I$ 。

现在，我们将 $R(t)$ 在 $t=0$ 处进行泰勒展开，得到：

$R(t)\approx R(t_{0})+\dot{R(t_{0})}(t-t_{0})=I+\phi (t_{0})R(t_0)(t)=I+\phi (t_{0})(t)$

可以看到， ${\color{Red} \phi}$ 反映了 ${\color{Red} R}$ 的导数性质，所以我们称它为SO(3)原点附近的正切空间上。

（下面是书上的推导公式，其实我个人认为这样的推导不是很合理，也有可能是我没有完全理解）

同时在 $t_{0}$ 附近，设 $\phi$ 保持为常数 $\phi (t_0)=\phi _0$ ，于是根据 $\dot{R(t)}=\phi (t)^{\Lambda }R(t)$ 得到：

$R(t)=\phi (t_0)^{\Lambda }R(t)=\phi _0^{\Lambda }R(t)$

就是这一步不是很理解，因为 $\phi$ 仅仅是在 $t_{0}$ 的附近保持不变，而不是在整个 $t$ 的范围内保持不变，所以这里只将 $t=t_0$ 代入 $\phi$ 中，我感觉上面的等式是不成立的。如果有人理解了这一步的话，希望能够给我讲解一下，万分感谢！

接着讲，上面是一个关于 $R$ 的微分方程，而且知道了 $R$ 的初始值为 $R(0)=I$ ，解微分方程可以得到：

$R(t)=exp(\phi _{0}^{\Lambda }t)$

（不会解的可以回去看一下高数的一阶线性微分方程的解法）。

总结：

我们看到，旋转矩阵 $R$ 与另一个反对称矩阵 $\phi _0$ 通过指数关系发生了联系，也就是说，当我们知道某个时刻的 $R$ 时，存在一个向量 $\phi$ ，它们满足这个矩阵指数关系。有下面两个问题要提现说明一下：

（1）与 $R$ 对应的 $\phi$ 有什么含义呢？后面可以看到， $\phi$ 就是对应到 $SO(3)$ 上的李代数。

（2）矩阵指数 $exp(\phi ^{\Lambda })$ 如何计算？这也就是后面要学习的李群和李代数之间的指数/对数映射。

这一节的知识很不好理解，迷迷糊糊的。所以就先到这里了。下一篇开始学习 $SO(3),SE(3)$ 对应的李代数。