HDU 4489 The King’s Ups and Downs 组合DP

The King’s Ups and Downs HDU - 4489

给一个整数 nnn，求 {1,⋯,n}\{1,\cdots,n\}{1,⋯,n} 符合以下条件的的排列数：

设 a1,⋯,ana_1,\cdots,a_na1,⋯,an 为一个排列，要求该排列中：

⋯>ak−1<ak>ak+1<ak+2>ak+3<⋯\cdots>a_{k-1}<a_k>a_{k+1}<a_{k+2}>a_{k+3}<\cdots⋯>ak−1<ak>ak+1<ak+2>ak+3<⋯

按从 111 到 nnn 的顺序插入到队列中，令 dp[i]dp[i]dp[i] 为前 iii 个对应的排列数，并且要求结尾时 “高低”（同样也可以用来表示前 iii 个对应的排列，开头是 “低高”）则有：

dp[i]=12∑j=0i−1dp[j]∗dp[i−j−1]∗Ci−1jdp[i]=\frac{1}{2}\sum_{j=0}^{i-1}dp[j]*dp[i-j-1]*C_{i-1}^j dp[i]=21j=0∑i−1dp[j]∗dp[i−j−1]∗Ci−1j

也就是说当插入 iii 时，首先选一个位置，这个位置前面有 jjj 个数，其末尾为 “高低”，这个位置后面有 i−j−1i-j-1i−j−1 个数，其开头为 “低高”，求和得到的结果即为前 iii 个对应的排列数，再除以 222 得到的是结尾限制为 “高低” 对应的排列数（同时也可以表示开头限制为 “低高” 对应的排列数）

求组合数 CijC_i^jCij

Cij=Ci−1j+Ci−1j−1C_i^j=C_{i-1}^j+C_{i-1}^{j-1} Cij=Ci−1j+Ci−1j−1

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define MAXN 21
using namespace std;
typedef long long ll;
int T,t,n;
ll c[MAXN][MAXN],dp[MAXN];
int main(){#ifdef WINEfreopen("data.in","r",stdin);
#endiffor(int i=0;i<=MAXN;i++)c[i][i]=c[i][0]=1;for(int i=1;i<=MAXN;i++)for(int j=1;j<i;j++)c[i][j]=c[i-1][j]+c[i-1][j-1];dp[0]=dp[1]=1;for(int i=2;i<=MAXN;i++){ll res=0;for(int j=0;j<i;j++)res+=dp[j]*dp[i-j-1]*c[i-1][j];dp[i]=res/2;}scanf("%d",&T);while(T--){scanf("%d%d",&t,&n);printf("%d %lld\n",t,(n==1?1:dp[n]*2));}return 0;
}

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