物理实验引发的思考：总体标准偏差和样本标准偏差的区别是什么？标准偏差和标准误的区别是什么？

一、总体标准偏差和样本标准偏差

假设我们测量了变量xxx，测得的结果是x1,x2,⋯,xnx_1,x_2,\cdots,x_nx1,x2,⋯,xn。令xˉ\bar xxˉ是它们的算术平均值，μ\muμ是xxx的真实值。

我们使用标准（偏）差（Standard Deviation）来度量数据分布的分散程度。标准差越大，数据分布越离散，反之越集中。

我们在小学/初中学过标准差的计算公式σ=∑i=1N(xi−μ)2N\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2}{N}}σ=N∑i=1N(xi−μ)2其中μ\muμ是总体的平均值。但是物理实验中采用的是S=∑i=1n(xi−xˉ)2n−1S=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2}{n-1}}S=n−1∑i=1n(xi−xˉ)2其中xˉ\bar xxˉ是样本的平均值。那为什么分母变成n−1n-1n−1了呢？包括我在内的很多人都不理解。

实际上，σ\sigmaσ叫做总体标准偏差（Population Standard Deviation），而SSS叫做样本标准偏差（Sample Standard Deviation），是两种不同的标准偏差。它们的区别何在？总体标准偏差就是你已经知道了所有的数据，比如班级的成绩，然后你要计算它的离散程度。这在物理测量当中是不可能出现的，因为你可以测量无限次。样本标准偏差就是你要用一些数据（样本）来估计整体情况，相当于以偏概全。物理实验中就是这样一种情况，你测得一组数据，然后用这组数据近似表示真实值。在这种情形下，如果我们测得一组数据x1,x2,⋯,xnx_1,x_2,\cdots,x_nx1,x2,⋯,xn，用总体标准偏差σ\sigmaσ来表征离散程度的话，就出现问题了：总体平均值，也就是真实值μ\muμ，我们是不知道的。那我们用xˉ\bar xxˉ代替μ\muμ，就会导致：我们计算的是x1,x2,⋯,xnx_1,x_2,\cdots,x_nx1,x2,⋯,xn围绕样本的平均值xˉ\bar xxˉ的离散程度，而不是围绕真实值μ\muμ的离散程度。对于一组数x1,x2,⋯,xnx_1,x_2,\cdots,x_nx1,x2,⋯,xn和一个变量ttt，令f(t)=∑i=1n(xi−t)2f(t)=\sum\limits_{i=1}^n(x_i-t)^2f(t)=i=1∑n(xi−t)2，这是一个开口向上的二次函数，在t=−b2a=∑i=1n2xi2n=∑i=1nxin=xˉt=-\frac{b}{2a}=\frac{\sum\limits_{i=1}^n2x_i}{2n}=\frac{\sum\limits_{i=1}^nx_i}{n}=\bar xt=−2ab=2ni=1∑n2xi=ni=1∑nxi=xˉ的时候取得最小值。也就是说，∑i=1n(xi−xˉ)2≤∑i=1n(xi−μ)2\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2\le\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\mu)^2i=1∑n(xi−xˉ)2≤i=1∑n(xi−μ)2。这就意味着，我们低估了数据的离散程度。我们需要将分母改为n−1n-1n−1，来稍稍增大偏差的值。

那为什么是n−1n-1n−1呢？纯统计学的严格证明颇为复杂，但我们可以用一种别样的思考方式。现在我们获得的样本有nnn个测量结果，就是有nnn条独立的信息。我们已经知道xˉ\bar xxˉ，如果再知道x1−xˉ,x2−xˉ,⋯,xn−1−xˉx_1-\bar x,x_2-\bar x,\cdots,x_{n-1}-\bar xx1−xˉ,x2−xˉ,⋯,xn−1−xˉ，那xn−xˉx_n-\bar xxn−xˉ自然就知道了。现在我们把这些偏差的平方加起来，应该只有n−1n-1n−1条独立的信息，所有除以n−1n-1n−1才说得通。专业的名词叫做有n−1n-1n−1个“自由度”。

其实到这里你也许还是没有理解。是的，我也没有理解。在系统学习统计学之前是不可能理解的。但是很多人对采用n−1n-1n−1作为分母的说法是“约定俗成的”，即用n−1n-1n−1更符合统计规律。所以我们也不用在乎那么多了，记住在物理实验的时候用n−1n-1n−1作为分母来算标准偏差就好了。

最后，我想说的是，当n→∞n\to\inftyn→∞的时候，即测量无限次，那xˉ\bar xxˉ就是μ\muμ，σ\sigmaσ和SSS的比值就会趋近于111，这时总体标准偏差和样本标准偏差就是一回事了。

二、标准偏差和标准误

还是讨论物理实验中的问题。我们刚才讲了标准偏差（Standard Deviation），它的公式是S=∑i=1n(xi−xˉ)2n−1S=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2}{n-1}}S=n−1∑i=1n(xi−xˉ)2关于分母为什么是n−1n-1n−1就已经够让我们头疼了，现在又冒出来一个标准误（Standard Error of Mean），这玩意又是什么呢？

标准误的含义用来估计样本平均值和真实值有多少差异的，用σxˉ\sigma_{\bar x}σxˉ表示。例如，xˉ=0.370\bar x=0.370xˉ=0.370，σxˉ=0.002\sigma_{\bar x}=0.002σxˉ=0.002，那么测量结果就写成0.370±0.0020.370\pm0.0020.370±0.002。

对于标准偏差和标准误的区别，知乎上有一个我感觉很好的解释：
举个栗子，现在我们测量了200200200次，分为202020组，每组101010个数取一个平均值，那这202020个平均值的标准偏差就是这200200200个数据的标准误。

标准误的计算公式是σxˉ=Sn=∑i=1n(xi−xˉ)2n(n−1)\sigma_{\bar x}=\frac{S}{\sqrt n}=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2}{n(n-1)}}σxˉ=nS=n(n−1)∑i=1n(xi−xˉ)2
为什么要除以n\sqrt nn呢？我们考虑nxˉ=x1,x2⋯,xnn\bar x=x_1,x_2\cdots,x_nnxˉ=x1,x2⋯,xn的标准偏差，而x1,x2⋯,xnx_1,x_2\cdots,x_nx1,x2⋯,xn是相互独立的，所以它们的标准偏差都等于SSS，其中SSS是xxx的标准偏差。那么σnxˉ2=nS2\sigma_{n\bar x}^2=nS^2σnxˉ2=nS2，即n2σxˉ2=nS2n^2\sigma_{\bar x}^2=nS^2n2σxˉ2=nS2，σxˉ=Sn\sigma_{\bar x}=\frac{S}{\sqrt n}σxˉ=nS。

本文到这里就结束了，还是留下了太多没有解决的问题，以后慢慢补上吧，总之物理实验直接套公式就行了，不用操那么多心~

2022/11/28更新：现在学了概率论与数理统计，有了新的理解，请看这里–>【概率论】关于为什么样本标准偏差分母是n-1的进一步理解。