前言

我们经常听人说，“皮之不存，毛将焉附”，意思是皮是毛存在的基础，那么函数的定义域也就是函数及其性质存在的基础和依托；函数的定义说“函数是非空数集到非空数集的映射”，第一个非空数集就是定义域。所以一提起函数及其性质，我们往往先想到的就是函数的定义域。如果一个函数的定义域是空集，那么这个函数即使给出了所谓的解析式，也是空函数，没有研究的任何价值，因此数学老师常常强调的一句话就是“定义域优先”。

一、给出方式

1、直接给出(限定定义域)；

如函数\(f(x)，x\in D\)

2、以函数解析式的形式给出(自然定义域)；

如已知函数\(f(x)=lg\cfrac{x+2}{x-2}\),求其定义域；

要知道这个函数的定义域，我们自然需要解不等式\(\cfrac{x+2}{x-2}>0\)，

由穿针引线法可得定义域为\(x\in(-\infty，-2)\cup(2，+\infty)\)。

3、以图像的形式给出，

如右图动画所示，函数图像向\(x\)轴作正射影，就得到定义域；

向\(y\)轴作正射影，就得到值域。

当然，你如果会用图像，那么由此图像还可以解不等式\(f(x)>0\)或\(f(x)\leq 0\)

4、以实际问题给出，比如\(x\)为某个线段的长度，则隐含\(x\ge 0\)，自然就不能取负值的。

二、求定义域

• 给定解析式的函数的定义域，转化为解不等式组

例1已知函数\(f(x)=\cfrac{\sqrt{x^2-1}}{ln(x-1)}\)，求其定义域；

分析：要使得解析式有意义，须满足\(\begin{cases}x^2-1\ge 0\\x-1>0\\ln(x-1)\neq 0\end{cases}\)，从而解得\(\{x\mid x>1且x\neq 2\}\)，即定义域为\((1，2)\cup(2，+\infty)\).

• 复合函数的定义域

例2已知函数\(f(x)\)的定义域是\([-1，1]\)，求函数\(f(2x+1)\)的定义域；

分析：解决这类题目需要牢牢抓住两点：其一接受对应法则\(f\)作用的\(x\)和\(2x+1\)是处于对等位置的，

其二不论是给定函数的定义域还是求解函数的定义域，都是针对单独的自变量\(x\)而言，

据此可知由于\(-1\leq x\leq 1\)，故\(-1\leq 2x+1\leq 1\)，解得函数\(f(2x+1)\)的定义域是\(x\in [-1，0]\)。

例3已知函数\(f(x)=lg\cfrac{x+2}{2-x}\),求函数\(f(\cfrac{x}{2})+f(\cfrac{2}{x})\)的定义域；

分析：由上知，函数\(f(x)\)的定义域为\(x\in(-2，2)\)，故和自变量\(x\)对等的\(\cfrac{x}{2}\)和\(\cfrac{2}{x}\)也必须在这个范围内，

则有\(\begin{cases} -2<\cfrac{x}{2}<2 \\ -2<\cfrac{2}{x}<2 \end{cases}\)，解得\(x\in (-4，-1)\cup(1，4)\)。

例4已知函数\(f(x+1)\)的定义域是\([0，1]\)，求函数\(f(2^x-2)\)的定义域。

分析：这里同样你得清楚\(x+1\)和\(2^x-2\)是对等的，先由\(x\in[0，1]\)，

计算得到\(1\leq x+1\leq 2\)，故\(1\leq 2^x-2\leq 2\)，

解得\(3\leq 2^x\leq 4\)，同时取以2为底的对数得到\(log_2^3\leq x\leq 2\)，

则所求定义域是\(x\in [log_2^3，2]\)。

• 分段函数的定义域

例5已知函数\(f(x)=\begin{cases}x^2+4x，&x\ge0\\4x-x^2，&x<0\end{cases}\)，求其定义域；

分析：分段函数的定义域是各段函数的定义域的并集，当然值域也是各段函数的值域的并集；

• 抽象函数的定义域(往往和复合函数不分家)

例6已知函数\(f(2x+1)\)的定义域是\([-1，1]\)，求函数\(f(x)\)的定义域；

分析：由上面的例子分析可知，所给函数的定义域是\([-1，1]\)，即函数\(f(2x+1)\)的自变量\(x\)的取值范围是\([-1，1]\)，

故内函数\(2x+1\)的取值范围这样求解，由\(-1\leq x \leq 1\)，得到\(-2\leq 2x \leq 2\)，

所以\(-1=-2+1\leq 2x+1 \leq 2+1=3\)，又由于\(2x+1\)和\(x\)对等(你可以理解为这两个接受同样的纪律约束也行)，

所以\(f(x)\)的\(x\)的取值范围应该是\(-1\leq x\leq 3\)，故函数\(f(x)\)的定义域是\([-1，3]\)。

典例【2019届高三理科函数及其表示课时作业第15题】

已知函数\(f(x^2-3)=lg\cfrac{x^2}{x^2-4}\)，则\(f(x)\)的定义域为____________。

分析：本题目的定义域求解应该考虑两层要求，

其一需要解析式\(lg\cfrac{x^2}{x^2-4}\)有意义，

即\(\cfrac{x^2}{x^2-4}>0\)，解得\(x<-2\)或\(x>2①\)；

其二，令\(x^2-3=t\)，则\(t\ge -3\)，则\(x^2=t+3\)，\(x^2-4=t-1\)，

故原函数可以改写为\(f(t)=lg\cfrac{t+3}{t-1}(t\ge -3)\)，

即\(f(x)=lg\cfrac{x+3}{x-1}(x\ge -3)\)，

则在\(x\ge -3\)时，还必须\(\cfrac{x+3}{x-1}>0\)，解得\(x<-3\)或\(x>1\)，

故所求定义域必须同时满足条件

\(\left\{\begin{array}{l}{x<-2，x>2}\\{x\ge -3}\\{x<-3，x>1}\end{array}\right.\)，故定义域为\(x>2\)，即\((2，+\infty)\)；

总结：上述的解法是错误的，原因是解析式右端\(lg\cfrac{x^2}{x^2-4}\)中的\(x\)与\(f(x)\)中的\(x\)的内涵不一样，

\(f(x)\)中的\(x\)与\(f(x^2-3)\)中的\(x^2-3\)的整体是对等的，故需要先等价转化得到函数的解析式。

【正解】令\(x^2-3=t\)，则\(t\ge -3\)，则\(x^2=t+3\)，\(x^2-4=t-1\)，

故原函数可以改写为\(f(t)=lg\cfrac{t+3}{t-1}(t\ge -3)\)，

即\(f(x)=lg\cfrac{x+3}{x-1}(x\ge -3)\)，

则在\(x\ge -3\)时，还必须\(\cfrac{x+3}{x-1}>0\)，解得\(x<-3\)或\(x>1\)，

故所求定义域必须同时满足条件

\(\left\{\begin{array}{l}{x\ge -3}\\{x<-3，x>1}\end{array}\right.\)，故定义域为\(x>1\)，即\((1，+\infty)\)；

三、影响要素

• 当函数的图像发生变换时，其定义域和值域常常会随之发生变化，举例说明如下：

比如已知函数\(f(x)\)的定义域是\([1，5]\)，则\(x\in [1，5]\)

平移变换：则\(f(x+2)\)的定义域就变成了\([-1，3]\)，原因是\(1\leq x+2\leq 5\)，解得\(x\in [-1，3]\)；

伸缩变换：则\(2f(x)\)的定义域不做变化。

周期变换：则\(f(2x)\)的定义域就变成了\([\cfrac{1}{2}，\cfrac{5}{2}]\)，原因是\(1\leq 2x \leq 5\)，解得\(x\in[\cfrac{1}{2}，\cfrac{5}{2}]\)；

四、易错警示

• 当题目中明确要求定义域时，一般学生都不会出错，但是在解题中学生又非常容易犯错误，主要原因还是缺乏定义域优先考虑的意识。一般来说，只要是研究函数的问题，不管题目是否要求我们求解定义域，都应该先确定函数的定义域，否则研究的函数就是无源之水，无本之木。

例7【2017凤翔中学高三理科第二次月考第9题】

若函数\(f(x)=log_a^\;(6-ax)\)在\([0，2]\)上为减函数，则实数\(a\)的取值范围是【】

分析：令\(g(x)=6-ax\)，像这类题目既要考虑单调性，还要考虑定义域，学生常犯的错误就是只考虑单调性而不顾及定义域。

由题目可知必有\(a>0\)，故函数\(g(x)\)单调递减，考虑定义域时只要最小值\(g(2)>0\)即可，解得\(6-2a>0\)，即\(a<3\)，

再考虑外函数必须是增函数，故\(a>1\)，综上可知，解得\(1<a<3\)，故选\(D\)。

引申：原题目改为在\([0，2)\)上为减函数，则实数\(a\)的取值范围是\(a\in (1，3]\)。

五、典例剖析

• 如果题目给出了函数的定义域，那么这时往往会转而求函数的其他性质，或者将已知的定义域转化为其他的命题。

例8已知函数\(f(x)=lg(x^2+2ax-a)\)，

①如果函数的定义域是\(R\)，求参数\(a\)的取值范围；

预备：先想一想，这个函数的定义域应该怎么求解？

分析：由于函数的定义域是\(R\)，说明对任意的\(x\in R\)，都能使得\(g(x)=x^2+2ax-a>0\)，

转化为二次函数恒成立问题了，(此时至少可以考虑数形结合或者恒成立分离参数)

这里用数形结合，函数\(g(x)\)开口向上，和\(x\)轴没有交点，则\(\Delta <0\)，

即\(\Delta=(2a)^2-4\times 1\times(-a)<0\)，解得\(a\in (-1，0)\)。

②如果函数的值域是\(R\)，求参数\(a\)的取值范围；

分析：如右图所示，要使得函数\(f(x)\)的值域是\(R\)，说明内函数\(g(x)=x^2+2ax-a\)必须要能取遍所有的正数，结合下图，

如果有一部分正实数不能取到，那么函数\(f(x)\)的值域就不会是\(R\)，这样只能是函数\(g(x)\)的\(\Delta \ge 0\)，

而不能是\(\Delta <0\)，注意现在题目要求是值域为\(R\)，而不是定义域为\(R\)，

因此必须满足条件\(\Delta=(2a)^2-4\times 1\times(-a)\ge 0\)，解得\(a\in \{a\mid a\leq -1 ，a\ge 0\}\)。

③引申题目：函数\(y=lg(x^2-2x+a)\)的值域不可能是【】

\(A.(-\infty，0]\) \(\hspace{4em}\) \(B.[0，+\infty)\) \(\hspace{4em}\) \(C.[1，+\infty)\) \(\hspace{4em}\) \(D.R\)

分析：对照右下图可知，若参数\(a\)的取值能使得函数\(g(x)=x^2-2x+a\)取遍所有的正实数，

则函数\(y=lgg(x)=lg(x^2-2x+a)\)的值域为\(R\)，若不能取遍取遍所有的正实数，

则其值域可能为\([0，+\infty)\)或者\([1，+\infty)\)，但是就是不可能为\((-\infty，0]\)，故选A。