物理学中的对称性

当伽利略确定力学现象在所有惯性系中进行都相同后，爱因斯坦就想到不应当仅仅是力学现象，应当推广到包括所有物理现象，在惯性系进行都应当是相同的，从而创立了狭义相对论；同样，惯性系不应当是描述物理现象的唯一可能的一类参考系，所有参考系在描述物理规律上都应当是等价的，这就导致了广义相对论。所以相对论也是追求物理规律应当具有更高对称美的认识的产物，迄今人们仍在追求的“大一统理论”，也是在追求这种对称美。

简而言之，伽利略发现力学规律在所有惯性系中都相同，爱因斯坦推广到所有物理规律在所有惯性系中都相同（狭义），进一步又推广到所有物理规律在所有参考系中都相同（广义）。

量子物理基础1-波粒二象性

一. 黑体辐射问题、能量子假说

单色辐出度（monochromatic radiant exitance）： 物体表面单位面积在单位时间发射的、波长在λ\lambdaλ到λ+dλ\lambda + \text{d} \lambdaλ+dλ范围内的电磁波能量与波长范围dλ\text{d} \lambdadλ之比。单色辐出度是温度TTT和波长λ\lambdaλ（频率ν\nuν）的函数，记为e(λ,T)e(\lambda, T)e(λ,T)。

辐出度（radiant exitance）: 单色辐出度对波长积分给出物体表面单位面积的辐射功率。辐出度描述物体的辐射本领。

吸收率（absorption rate）： 物体表面单位面积吸收的能量与入射能量的比。吸收率是温度TTT的函数。

单色吸收率（monochromatic absorption rate）： 温度为TTT时、波长在λ+dλ\lambda + \text{d} \lambdaλ+dλ区间内的吸收率，记为a(λ,T)a(\lambda, T)a(λ,T)。

黑体（blackbody）： 能完全吸收投射在其上的电磁波能量的物体，即在任何温度下对任意波长都有a(λ,T)=1a(\lambda, T) = 1a(λ,T)=1。

基尔霍夫定律（Kirchhoff Theorem）： 单色辐射度和单色吸收率之比是一个与构成物体的材料、物体表面性质无关，仅取决于温度和波长的普适函数，即：
e(λ,T)a(λ,T)=c(λ,T)(1)\frac{e(\lambda, T)}{a(\lambda, T)} = c(\lambda, T) \tag{1} a(λ,T)e(λ,T)=c(λ,T)(1)

c(λ,T)c(\lambda, T)c(λ,T)是仅依赖波长和温度的常数。

研究黑体辐射的意义：确定一个单色辐出度基准，e0(λ,T)e_0(\lambda, T)e0(λ,T)。

图1：黑体单色辐出度与波长的关系曲线

图1是实验数据曲线，可以总结出以下特征：
（1）对一定的温度TTT，曲线形状一定，与腔壁材料和空腔形状、大小无关。
（2）每条曲线下的面积，物理含义为一定温度下黑体辐出度，其与绝对温度T4T^4T4成正比（统计规律）：
∫e0(λ,T)dλ=σT4\int e_0(\lambda, T) \text{d} \lambda = \sigma T^4 ∫e0(λ,T)dλ=σT4

其中，比例系数σ\sigmaσ称为斯特潘-玻尔兹曼常量（Stefan-Boltzmann Constant），它的实验值为：σ=5.670400×10−8W/(m2⋅K4)\sigma = 5.670400 \times 10^{-8} \rm{W/(m^2 \cdot K^4)}σ=5.670400×10−8W/(m2⋅K4)。这一结果称为斯特潘-玻尔兹曼定律。
（3）对应一定温度TTT，e0(λ,T)e_0(\lambda, T)e0(λ,T)曲线有一最高点，最高点对应的波长λm\lambda_\text{m}λm满足：
λmT=b\lambda_\text{m} T = b λmT=b

其中，b=2.897756×10−3m⋅Kb = 2.897756 \times 10^{-3} \rm{m \cdot K}b=2.897756×10−3m⋅K是个常数，这称为维恩位移定律（Wien displacement law）。

如何从理论上解释实验数据呢？

第一个解释：1896年，维恩假设黑体辐射平衡时能量按频率的分布和同温度下理想气体按动能分配的麦克斯韦分布相同，导出一个黑体辐射单色辐出公式（维恩公式）：
e0(λ,T)=Bλ5e−AλTe_0(\lambda, T) = \frac{B}{\lambda^5} e^{\frac{-A}{\lambda T}} e0(λ,T)=λ5BeλT−A

其中，AAA和BBB为常数。该公式在短波段和实验相符。

第二个解释：1900年，瑞利根据经典电动力学和经典统计的能量均分定理，经金斯修正后，得到一个黑体辐射能量密度谱分布的公式（瑞利-金斯公式）：
e0(λ,T)=2πλ4kTe_0(\lambda, T) = \frac{2 \pi}{\lambda^4} k T e0(λ,T)=λ42πkT

其中，k=1.380658×10−23J/Kk = 1.380658 \times 10^{-23} \rm{J/K}k=1.380658×10−23J/K 为玻尔兹曼常量。该公式在长波段和实验相符。

图2：黑体辐射拟合曲线

第三个解释：1900年10月，德国物理学家普朗克改进了维恩公式，凑合实验数据（这里比较扯），得到一个新的黑体辐射公式（普朗克公式）：
e0(λ,T)=2πhc2λ51ehc/λkT−1e_0(\lambda, T) = \frac{2 \pi h c^2}{\lambda^5} \frac{1}{e^{hc / \lambda k T} - 1} e0(λ,T)=λ52πhc2ehc/λkT−11

其中，h=6.62606876×10−34J⋅sh = 6.62606876 \times 10^{-34} \rm{J \cdot s}h=6.62606876×10−34J⋅s为普朗克常量。这个（蒙的）公式和实验数据符合很好。在短波段hc≫λkThc \gg \lambda k Thc≫λkT，分母中的1可以忽略，即得到维恩公式。在长波段hc/λkT≪1hc / \lambda k T \ll 1hc/λkT≪1，将分母的ehc/λkTe^{hc / \lambda k T}ehc/λkT泰勒展开后取前两项，即得到瑞利-金斯公式。

很明显，这是一个蒙的公式，需要给出一个合理的解释或假设。

1900年12月24日，普朗克提出了一个惊人假设：对于一定频率的电磁辐射，物体只能以hνh \nuhν为单位发射或吸收电磁波。也就是说，物体发射或吸收电磁波只能以 “量子” 的方式进行，每个量子的能量为ε=hν\varepsilon = h \nuε=hν，这就是能量子（quanta）假设。根据这一假设，就可以利用经典统计从理论上导出黑体辐射的普朗克公式了。

普朗克能量子假设和经典物理学连续性的概念是完全矛盾的。

二. 光的波粒二象性、光子

爱因斯坦光量子假设： 在上一节黑体辐射的普朗克理论中，只是假定构成器壁原子振动能量是量子化的，电磁波的发射和吸收是以能量子形式进行的，但电磁波在空间的传播仍按麦克斯韦电磁理论处理。1905年，爱因斯坦假定：电磁场本身也是量子化的，即电磁场是“由数目有限的、每个都局限与空间小体积中的能量子所组成，这些能量子在运动中不再分散，只能整个地被吸收或产生。” 其中，频率为ν\nuν的电磁场能量子的能力为hνh \nuhν，简称这些能量子为光子（photon）。

光电效应（photoelectric effect）： 光照射到金属上，有电子从金属表面逸出的现象。

光子是一种能量子，一定频率的光子不但有确定的能量，而且还有一定的动量。光子的能量：
ε=hν=ℏω\varepsilon = h \nu = \hbar \omega ε=hν=ℏω

其中，ℏ=h/2π\hbar = h / 2 \piℏ=h/2π是现代文献资料中惯用记法，称为约化普朗克常量。

光子的动量：
p=hνcn=ℏωcn=ℏk\boldsymbol{p} = \frac{h \nu}{c} \boldsymbol{n} = \hbar \frac{\omega}{c} \boldsymbol{n} = \hbar \boldsymbol{k} p=chνn=ℏcωn=ℏk

其中，ω=2πν\omega = 2 \pi \nuω=2πν是波的圆频率，n\boldsymbol{n}n是沿波传播方向的单位矢量，k=ωcn\boldsymbol{k} = \frac{\omega}{c} \boldsymbol{n}k=cωn是波矢量。

三. 实物粒子的波动性、物质波

光既有以波长λ\lambdaλ和频率ω\omegaω表征的波动性，还具有由能量ε\varepsilonε和动量p\boldsymbol{p}p表征的粒子性，这些量由爱因斯坦关系联系着：
{ε=hν=ℏωp=hλn=ℏk(2)\left \{ \begin{aligned} \varepsilon &= h \nu = \hbar \omega \\ \boldsymbol{p} &= \frac{h}{\lambda} \boldsymbol{n} = \hbar \boldsymbol{k} \end{aligned} \right. \tag{2} ⎩⎨⎧εp=hν=ℏω=λhn=ℏk(2)

德布罗意的思考：作为波描述的辐射场具有粒子性，而作为粒子的物质为什么不可以具有波动性呢？人们在光的研究上强调了光的波动性，忽略了它的粒子性；而在物质粒子的研究上正相反，过分强调了粒子性，而忽略了波动性。

光子：静止质量为零；物质粒子：静止质量不为零。

德布罗意认为：任何物质运动都伴随着波，而且不可能将物体运动和波传播分开。并假设实物粒子的波性和粒子性间的数量关系与光波波性和粒子性的关系式(2)(2)(2)相同。对实物粒子的式(2)(2)(2)称为德布罗意关系。

自由粒子的能力和动量都是常数，由德布罗意关系可知与自由粒子相伴的物质波频率和波矢（波长）都是常量，因此物质波是平面波。平面波函数（没理解是什么意思）可以写成复数形式：
ψ(R,t)=Aei(k⋅R−ωt)=Aeiℏ(p⋅R−εt)\psi(\boldsymbol{R}, t) = A e^{i(\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{R} - \omega t)} = A e^{\frac{i}{\hbar}(\boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{R} - \varepsilon t)} ψ(R,t)=Aei(k⋅R−ωt)=Aeℏi(p⋅R−εt)

那平面波函数的正常形式是什么呢？用欧拉公式eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \thetaeiθ=cosθ+isinθ展开即可，欧拉公式将三角函数和复指数函数巧妙地联系了起来。

参考文献

李承祖, 曾交龙. 大学物理学(下册). 科学出版社, 2018.

读书-量子物理基础1相关推荐

大学物理/量子物理基础/康普顿效应
电磁辐射与物质相互作用时: 入射光子能量较低时(h<0.5MeV),以光电效应为主: 入射的高能光子(h>1.02MeV),与原子核发生相互作用,产生正负电子对: 入射光子具有中等能量,产 ...
量子物理詹班计算机,(电气系计算机系詹班)量子物理作业答案
西南交大峨眉校区大学物理西南交大峨眉校区<大学物理>(量子物理基础)作业6 (电气.计算机.詹班) 一选择题 1. 以一定频率的单色光照射在某种金属上,测出其光电流曲线在图中用实线表示 ...
量子物理史话（上帝掷骰子吗）----读书笔记（一）
薛定谔的猫,这个实验是量子物理中一个著名的实验.把一只猫和一个放射性粒子放入一个黑匣子中,当你再一次打开黑匣子的时候,猫可能死也可能活,这个状态是你在打开黑匣子的瞬间发生的. 因为放射性粒子在这个过 ...
清华浙大年度学生最高奖，都颁向量子物理
点击上方"视学算法",选择加"星标"或"置顶" 重磅干货,第一时间送达杨净发自凹非寺量子位报道 | 公众号 QbitAI 有点巧. ...
素数与量子物理的结合能带来解决黎曼猜想的新可能吗？
来源:中国科学院数学与系统科学研究院翻译:墨竹校对:杨璐 1972年,物理学家弗里曼·戴森(Freeman Dyson)写了一篇名为<错失的机会>(Missed Opportuniti ...
科学历史也可以写的如此精彩 ——《量子物理史话:上帝掷骰子吗》读后感
第一次看到<量子物理史话:上帝掷骰子吗>这本书,是网上的电子版本.和大多数消遣书一样,不关心也记不得作者.读了开头和简介后,让我生出一种熟悉感,只想借用当年明月写<明朝那些事儿> ...
爱因斯坦：量子物理与抽象数学（广义）
Are Numbers Real? 不熟悉广义相对论的人,无法从爱因斯坦的这番话中看出他当时到底想到了什么.爱因斯坦其实是在举例子.如果有人从非常高的建筑物上掉下来,他就会加速下落,而且加速度是一个标 ...
量子计算基础(学习笔记)
量子计算基础我是大自然的搬运工! 一.矢量空间一个矢量空间是由一组完备的线性无关的基矢的线性组合所生成的空间,这个矢量空间里的每一个矢量的元素都是复数(也包括实数),因为实数是特殊的复数.狄 ...
王阳明心学量子物理_量子物理学论文的文本分类
王阳明心学量子物理 Have you ever been looking for the most recent research findings in machine learning or A ...

读书-量子物理基础1