算法 - 棋盘覆盖（JavaScript）

题目描述

输入

输出

题目解析

算法代码实现

题目描述

在一个2^k * 2^k 个方格组成的棋盘中，恰有一个方格与其他方格不同，称该方格为特殊方格，且称该棋盘为特殊棋盘。

在棋盘覆盖问题中，要用如下图示的4种不同形态的L型骨牌覆盖给定的特殊棋盘上除特殊方格以外的所有方格，且任何2个L型骨牌不得重叠覆盖。

输入

控制台输入

第一行为整数k，（不是棋盘大小是2^k * 2^k，1≤k≤10），

第二行是两个整数，表示特殊方格所在行和列。

3

2 2

输出

特殊方格用0表示，数据间用制表符隔开，要求遍历顺序按从左到右，从上到下。具体看样例

3 3 4 4 8 8 9 9
3 0 2 4 8 7 7 9
5 2 2 6   10   10 7   11
5 5 6 6 1   10   11   11
13   13   14 1 1   18   19   19
13   12   14   14   18   18   17   19
15   12   12   16   20   17   17   21
15   15   16   16   20   20   21   21

题目解析

输入

3

2 2

表示创建一个2³ x 2³ 的棋盘，即 8 x 8 棋盘，该棋盘中有一个特殊方格，其位置在棋盘的第2行，第2列。

按照题目要求，我们可以使用4种不同形态的L型骨牌来覆盖特殊方格(2,2)其外的其他方格，L型骨牌可以用相同的数字来标记，如下图所示：

此题的解题思路采用分治法

假设k=1，则此时棋盘为2x2网格

特殊方格0的位置共有四处可能，如上图所示，

而无论特殊方格位置在哪，我们都可以使用不同形态的L型骨牌填充剩余格子

假设k=2，此时棋盘为4x4网格

特殊方格的放置位置可以有16处，但是特殊方格无论怎么放置，都可以转化如下四种位置（代入旋转，镜像，反转思维看）

因此，我们将4x4棋盘，分解为了4个2x2子棋盘，则特殊方格可以放置在任意一个2x2子棋盘中，并且放置在子棋盘中的位置只有上图所示的四种情况。

则此时，特殊方格所在的子棋盘的剩余网格必然可以被L型骨牌覆盖，如下图所示：

剩下工作就是将剩余的3个2x2的子棋盘用L型骨牌覆盖：

我们已经知道了一个L型骨牌占据三个方格，因此一个2x2的棋盘只能放入一个L型骨牌，并且还剩1个空闲方格。

因此3个2x2棋盘可以放3个L型骨牌，还剩余3个空闲方格。而剩余的3个空闲方格数目刚好符合一个L型骨牌所需要占据的方格数。

因此，我们必须让3个2x2棋盘放完L型骨牌后产生的空闲方格紧挨在一起，这样才能再次凑出一个L型骨牌。

反过来思考，我们可以先将剩余的3个2x2子棋盘的空闲网格位置先确定了，让3个空闲网格形成L型骨牌

因此最终4x4棋盘的覆盖策略如下：

为了保证分治法分解出来的子问题是相同的，我们可以将空闲网格也看成特殊方格。

假设k=3，则此时棋盘为8 x 8的网格

按照之前的思路，我们需要将：

8x8的棋盘，分解为 4个 4x4 的棋盘，则特殊方格0必然在某个4x4棋盘中。

假设，我们找到了包含特殊方格的4x4棋盘，则我们需要继续将4x4棋盘分解为4个 2x2 棋盘，同样的，特殊方格0必然在某个2x2棋盘中。

假设，我们找到了包含特殊方格的2x2棋盘，我们称此2x2棋盘为a棋盘，则a棋盘的覆盖策略已经确定，如下图橙色L型骨牌覆盖。

另外3个2x2棋盘的空闲网格位置也被迫确定了，如下图绿色L型骨牌覆盖。

而3个2x2棋盘的空闲网格位置确定好了，则它们的L型骨牌覆盖策略也就定了。

因此一个4x4棋盘的覆盖策略就被确定了，我们称此4x4棋盘为A棋盘。

通过A棋盘的覆盖，我们发现，一个 2^k * 2^k 的棋盘，放下足够多的L型骨牌后，必然还剩一个空闲网格。比如2x2棋盘只能放下 2x2/3=1...1个，4x4棋盘只能放下4x4/3=5...1，8x8棋盘只能放下8x8/3=21...1。

因此8x8棋盘中除了A棋盘外的剩余3个4x4子棋盘，无论每个4x4棋盘如何放置L型骨牌，自身必然剩余1个空闲网格。则3个4x4棋盘必然还剩3个空闲网格，则此时我们只能将这三个空闲网格凑在一起，形成L型骨牌。

同样地，为了保证分治法分解出来的子问题是相同的，我们可以将空闲网格也看成特殊方格。

因此本题的分解思路应该如下：

将2^k * 2^k棋盘分为4个 2^(k-1) * 2^(k-1)的子棋盘，判断特殊方格位于哪个子棋盘中

含有特殊方格的子棋盘继续进行分解，直到子棋盘为1x1
不含有特殊方格的子棋盘，我们人为的为其设定一个特殊方格，即指定它们的空闲方格的为特殊方格。而它们空闲方格的位置，必然是相连的且围绕（含有特殊方格的子棋盘），如下图所示：

算法代码实现

/* JavaScript Node ACM模式 控制台输入获取 */
const readline = require("readline");const rl = readline.createInterface({input: process.stdin,output: process.stdout,
});const arr = [];
rl.on("line", (line) => {arr.push(line);if (arr.length === 2) { // 让控制台支持多行输入const k = parseInt(arr[0]);const [r, c] = arr[1].split(" ").map((item) => parseInt(item));gridCover(k, r, c).map((row) => {console.log(row.join("\t"));});arr.length = 0; // 让控制台支持不断输入测试}
});/* 棋盘覆盖 */
function gridCover(k, row, col) {// tile是L型骨牌的编号let tile = 1;// 棋盘大小 size x size，而size = 2^klet size = 1 << k;// 创建一个size x size大小的二维数组作为棋盘const grid = createGrid(size, size);// 标记出特殊方格的位置grid[row - 1][col - 1] = 0;// tr表示棋盘左上角的行号，tc表示棋盘左上角的列号，dr表示特殊方格的行号，dc表示特殊方格的列好，size表示棋盘的大小function chessBoard(tr, tc, dr, dc, size) {if (size === 1) return;let t = tile++;let s = size / 2;// 如果特殊方格0位于左上角子棋盘中，则左上角子棋盘为特殊棋盘if (dr < tr + s && dc < tc + s) {// 分解特殊棋盘chessBoard(tr, tc, dr, dc, s);} else {// 否则，左上角子棋盘不是特殊棋盘，我们可以将其空闲方格位置（右下角）定义为特殊方格，让其变为一个特殊棋盘grid[tr + s - 1][tc + s - 1] = t;// 分解特殊棋盘chessBoard(tr, tc, tr + s - 1, tc + s - 1, s);}// 如果特殊方格0位于右上角子棋盘中，则右上角子棋盘为特殊棋盘if (dr < tr + s && dc >= tc + s) {// 分解特殊棋盘chessBoard(tr, tc + s, dr, dc, s);} else {// 否则，右上角子棋盘不是特殊棋盘，我们可以将其空闲方格位置（左下角）定义为特殊方格，让其变为一个特殊棋盘grid[tr + s - 1][tc + s] = t;chessBoard(tr, tc + s, tr + s - 1, tc + s, s);}// 如果特殊方格0位于左下角子棋盘中，则左下角子棋盘为特殊棋盘if (dr >= tr + s && dc < tc + s) {// 分解特殊棋盘chessBoard(tr + s, tc, dr, dc, s);} else {// 否则，左下角子棋盘不是特殊棋盘，我们可以将其空闲方格位置（右上角）定义为特殊方格，让其变为一个特殊棋盘grid[tr + s][tc + s - 1] = t;chessBoard(tr + s, tc, tr + s, tc + s - 1, s);}// 如果特殊方格0位于右下角子棋盘中，则右下角子棋盘为特殊棋盘if (dr >= tr + s && dc >= tc + s) {// 分解特殊棋盘chessBoard(tr + s, tc + s, dr, dc, s);} else {// 否则，右下角子棋盘不是特殊棋盘，我们可以将其空闲方格位置（左上角）定义为特殊方格，让其变为一个特殊棋盘grid[tr + s][tc + s] = t;chessBoard(tr + s, tc + s, tr + s, tc + s, s);}}chessBoard(0, 0, row - 1, col - 1, size);return grid;
}/* 创建二维数组 */
function createGrid(row, col) {const grid = new Array(row);for (let i = 0; i < row; i++) {grid[i] = new Array(col);}return grid;
}

在写算法过程中，遇到的比较棘手的问题就是JavaScript创建二维数组。

我们不能使用 const 2dArr = new Array(8).fill(new Array(8))来创建二维数组，因为数组的fill方法会用入参填充数组元素。如果fill入参是一个对象，则被填充的数组的所有元素都指向该对象。

所以我们只能老老实实的for循环去创建。

另外 new Array(8)表示创建一个长度为8的数组，但是此时数组元素都是empty。

而当数组元素是empty时，数组原型上的一些方法，如forEach、map、filter、some、every、reduce将会跳过这些empty元素，所谓跳过，即这些empty元素不会进入callback回调。这是稀疏数组特性。