LeetCode小白菜笔记[17]：Sqrt(x)

69. Sqrt(x) [easy]

Implement int sqrt(int x).

Compute and return the square root of x.

x is guaranteed to be a non-negative integer.

Example 1:

Input: 4
Output: 2

Example 2:

Input: 8
Output: 2
Explanation: The square root of 8 is 2.82842..., and since we want to return an integer, the decimal part will be truncated.

题目要求很简单，就是对整数开根号。

先试试最枚举的暴力方法，看看有没有时间限制：

class Solution(object):def mySqrt(self, x):""":type x: int:rtype: int"""i = 0while (i+1) * (i+1) <= x:i += 1return i

time limit excess 。。。果然有时间限制。考虑其他方法。实际上这就是一个对于从0~n的整数里面查找满足条件的整数的问题，既然是查找，那就可以二分来做。另外，考虑这个问题可以看做是函数求零点，或者说是方程求根问题，而且要求是整数，对精度要求这么低，可以牛顿迭代。

考虑牛顿迭代，对于 f(x)=0 f ( x ) = 0 f(x) = 0 ，可以构造 y=f(x) y = f ( x ) y = f(x)，求其零点。对于一个guess，比如 x0 x 0 x_0，那么有在此处的切线：

y=f′(x0)(x−x0)+f(x0) y = f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + f ( x 0 )

y = f^{'}(x_0)(x-x_0)+f(x_0)

点斜式方程，这个线性方程的零点就是：

x=−f(x0)f′(x0)+x0 x = − f ( x 0 ) f ′ ( x 0 ) + x 0

x = -\frac{f(x_0)}{f^{'}(x_0)}+x_0

如果我们对于这个零点作为下一个guess，重复以上步骤，这就是牛顿迭代，所以上式中的 x x x和x0" role="presentation" style="position: relative;">x0x0x_0可以写成 xn+1 x n + 1 x_{n+1}和 xn x n x_n，就变成了迭代公式。对于本问题，一个特例就是：

y=f(x)=x2−a y = f ( x ) = x 2 − a

y=f(x) = x^2 - a ，其中a就是我们要求根的那个数字。所以迭代公式为：

xk+1=12(xk+axk) x k + 1 = 1 2 ( x k + a x k )

x_{k+1} = \frac{1}{2}(x_k+\frac{a}{x_k})

以a为第一次guess，可以迭代，因为精度要求是整数部分即可，又由于牛顿迭代的误差是越来越小的，又因为二次函数是凸的，切线应该在下面，所以数值应该是逐渐减小的，因此找到第一个整数部分的平方小鱼等于a的即可，code如下：

class Solution(object):def mySqrt(self, x):""":type x: int:rtype: int"""rt = xwhile int(rt) * int(rt) > x:rt = 0.5 * ( rt + x / rt )return int(rt)

就这几句。。。结果通过。但是比较慢，125ms，超过百分之4.5，后来发现，第一个guess不必从x开始，可以从x/2+1即可，再测试，结果：

69ms，12.17%，还是比较慢，但是有提高。

2018年2月10日01:45:36

夜深了，睡觉~