出栈顺序问题讲解蓝桥杯

引言：最近刷数据结构的题，刷到一组元素入栈，他的出栈顺序有可能是哪些时卡住，之前没有关注此类问题，便写下总结

先通过几个例题讲解下出栈顺序问题

一个栈的入栈序列是a,b,c,d,e则栈的不可能的输出序列是：（）A edcba         B decba           C dceab            D abcde

栈之根本——后进先出（Last In First Out , LIFO）初次接触到这个问题的人，或许会认为入栈abcde，所以出栈只能是edcba所以BCD都不对。

其实是这个问题描述有歧义，应该是分段入栈的顺序，也就是说，可能先入栈a，取出a，入栈b，取出b……，所以D也是可能的。

知道这个意思了以后，就要明确这个问题的矛盾根本所在：第一次出栈d，说明什么？说明a，b，c一定早已入栈（入栈顺序决定的）。那么在出栈d以后，a，b，c的出栈顺序一定是c，b，a，而不用理会中间穿插着出栈了d后面的字符（因为可以再入栈，再出栈嘛）。所以立即选中C，不用犹豫，理由简单：d出栈了，abc一定已经入栈，那么abc只能以cba的顺序出栈，C不符合，OK！

举一个更加直观的例子：

如栈顺序是：1 2 3 4 ，如何正确理解出栈？

（1）入栈顺序是1 2 3 4，就是指这四个数依次入栈：
数据4入栈之前，1 2 3肯定已经入栈了；
数据3入栈之前，1 2肯定已经入栈了，而4还没入栈；
数据2入栈之前，1肯定已经入栈了，而2 3 4还没入栈；
数据1最先入栈，2 3 4还没入栈。
（2）既然入栈顺序是1 2 3 4，3 4入栈的时候，1 2 肯定已经入栈了，怎么会在后面再入栈。
（3）先拿4 3 1 2这个出栈序列来说，4最先出来，说明此时1 2 3（底到顶顺序）还都在栈中；接下来只有3能出栈，3出来后，栈中为1 2（底到顶顺序）；再接下来只有2能出栈，所以如果出栈序列前两个是4 3的话，后两个只能是2 1。再看个正确的出栈序列：2 4 3 1；2最先出来，说明它出来时，3 4还没入栈，而1已入栈且还在栈中；接着是4出来，说明此时3也在栈中（3要比4先入栈），此时栈中有1 3（底到顶顺序）；然后只能

总之，挨个看出栈序列的数据，根据入栈顺序，分析它出来时，栈中应该还有谁，而有谁还没入栈，然后分析此时可不可能是它出栈。

下面针对蓝桥杯问题，编程来进行分析。

题目：X星球特别讲究秩序，所有道路都是单行线。一个甲壳虫车队，共16辆车，按照编号先后发车，夹在其它车流中，缓缓前行。路边有个死胡同，只能容一辆车通过，是临时的检查站，如图所示。X星球太死板，要求每辆路过的车必须进入检查站，也可能不检查就放行，也可能仔细检查。如果车辆进入检查站和离开的次序可以任意交错。那么，该车队再次上路后，可能的次序有多少种？为了方便起见，假设检查站可容纳任意数量的汽车。显然，如果车队只有1辆车，可能次序1种；2辆车可能次序2种；3辆车可能次序5种。现在足足有16辆车啊，亲！需要你计算出可能次序的数目。

分析题意：此题的类型为N个元素的出栈问题，题意为16个元素的出栈顺序有多少种。

我们把n个元素的出栈个数的记为f(n), 那么对于1,2,3, 我们很容易得出：

f(1)= 1 //即 1

f(2)= 2 //即 12、21

f(3)= 5 //即 123、132、213、321、231

然后我们来考虑f(4), 我们给4个元素编号为a,b,c,d, 那么考虑：元素a只可能出现在1号位置，2号位置，3号位置和4号位置(很容易理解，一共就4个位置，比如abcd,元素a就在1号位置)。

分析：

1) 如果元素a在1号位置，那么只可能a进栈，马上出栈，此时还剩元素b、c、d等待操作，就是子问题f(3)；

2) 如果元素a在2号位置，那么一定有一个元素比a先出栈，即有f(1)种可能顺序（只能是b），还剩c、d，即f(2)，根据乘法原理，一共的顺序个数为f(1)* f(2)；

3) 如果元素a在3号位置，那么一定有两个元素比1先出栈，即有f(2)种可能顺序（只能是b、c），还剩d，即f(1)，

根据乘法原理，一共的顺序个数为f(2) * f(1)；

4) 如果元素a在4号位置，那么一定是a先进栈，最后出栈，那么元素b、c、d的出栈顺序即是此小问题的解，即 f(3)；

结合所有情况，即f(4) = f(3) +f(2) * f(1) + f(1) * f(2) + f(3);

为了规整化，我们定义f(0) = 1；于是f(4)可以重新写为：

f(4) = f(0)*f(3) + f(1)*f(2) + f(2) * f(1)+ f(3)*f(0)

然后我们推广到n，推广思路和n=4时完全一样，于是我们可以得到：

f(n) = f(0)*f(n-1) + f(1)*f(n-2) + ... +f(n-1)*f(0)

即

方法二：

但这只是一个递推公式（若编程实现，需要维护一个一维数组，时间复杂度为O(n^2)）。怎么把它转化为通项公式呢，复杂度仅为O(1)?

于是上网搜索一下，原来真的有这么一个公式：C(2n,n)/(n+1) （C(2n,n)表示2n里取n），并且有个名字叫Catalan数。附上wiki的链接，写得太详细了： http://en.wikipedia.org/wiki/Catalan_number

现在的问题就是：怎么从上述的递推公式求出C(2n,n)/(n+1) ? 有兴趣的朋友欢迎留言讨论！

我抽象了下问题，在知乎上问了个问题，其中有一个答案提出了“折现法”，从几何上推出了“n个元素进栈有多少个出栈顺序”这个问题的答案是C(2n,n)-C(2n,n-1)，化简一下即得Catalan number。推荐大家看一看。

代码：

public class Main {// 不用管出站后车的数量和顺序，因为进站顺序和出站顺序已经决定出站时的排序static int fun(int a, int b) {// a是等待进站的数目，b是站中的数目if (a == 0)// 此时已全部进站，出站时的顺序只有一种return 1;if (b == 0)// 此时车站为空，只能让车进站return fun(a - 1, 1);// 有两种走法：1、让一辆车进站 ；2、让一辆车出站return fun(a - 1, b + 1) + fun(a, b - 1);}static int fun(int a) {return fun(a, 0);}public static void main(String[] args) {System.out.println(fun(16));}
}

答案：35357670

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