前言：

贝塞尔曲线又称贝兹曲线，它的主要意义在于无论是直线或曲线都能在数学上予以描述。最初由保罗·德卡斯特里奥(Paul de Casteljau)于1959年运用德卡斯特里奥演算法开发(de Casteljau Algorithm)，在1962，由法国工程师皮埃尔·贝塞尔(Pierre Bézier)所广泛发表。目前广泛应用于图形绘制领域来模拟光滑曲线，为计算机矢量图形学奠定了基础。在一些图形处理软件中都能见到贝塞尔曲线，比如CorelDraw中翻译成“贝赛尔工具”；而在Fireworks中叫“画笔”；Photoshop中叫“钢笔工具”。下图为Photoshop中用钢笔绘制的贝塞尔曲线，共绘制了三条贝塞尔曲线：

数学表达

术语：数据点、控制线、控制点、德卡斯特里奥算法、一阶，二阶，三阶，n阶……

数据点：一条贝塞尔曲线的起始点和终结点都叫数据点。

控制线：在图中可以看到那条中心点为数据点的线段，每个数据点对应一条控制线

控制点：就是控制线的端点，通过控制线随着控制点的变化而变化；数据点和控制点决定一条贝塞尔曲线。

一阶贝塞尔曲线：其实是一条直线段，没有控制点。

一阶贝塞尔曲线示意图

一阶贝塞尔曲线公式

二阶贝塞尔曲线：图中第二段为二阶贝塞尔曲线，只有一个控制点，即只有一个控制点和两个数据点来决定曲线形状。

二阶贝塞尔曲线公式

二阶公式推导：

二阶贝塞尔曲线t=0.6示意图.gif

根据控制点和数据点，对贝塞尔曲线进行约束，满足的条件为

问题变为：已知P0(x0,y0), P1(x1,y1), P2(x2,y2)，根据上式求P点坐标？

先求出A、B点坐标，其坐标

PA=P0+(P1-P0)·t

PB=P1+(P2-P1)·t

之后求P点坐标，其坐标

P=PA+(PB-PA)·t

P=(1-t)2P0+2t(1-t)P1+t2P2， t∈[0,1]

三阶贝塞尔曲线：图中第三段为三阶贝塞尔曲线，有两个控制点和两个数据点决定的曲线，同样满足等比条件：

三阶贝塞尔曲线

三阶贝塞尔曲线公式

德卡斯特里奥算法的思想：给定数据点和控制点P0、P1…Pn，首先将数据点和控制点连接形成一条折线，计算出每条折线上面的一点，使得初始数据点(初始控制点)到该点的距离与初始数据点(初始控制点)到终止数据点(终止控制点)的距离之比为t:1。将这些点连接起来形成新的折线(折线少了一段)，用递归的算法继续计算，指导只有两个点，在这两个点形成的线段上去一点，满足以上的比例关系。随着t的从0到1的变化，该点的集合形成了贝塞尔曲线。

n阶贝塞尔曲线公式如下。

Android中的应用

对android中如何获取贝塞尔曲线上的点，如何绘制贝塞尔曲线，以及结合贝塞尔曲线的知识做出的效果进行分析。

1. 获取贝塞尔曲线上点的坐标

在android中并没有直接获取的方法，因此需要利用上面的公式进行计算，以二阶贝塞尔曲线为例，获取51个点，主要是t从0开始到1间取51项的等差数列：

public class MainActivity extends AppCompatActivity {

private static final float mPointNum = 50f;

@Override

protected void onCreate(Bundle savedInstanceState) {

super.onCreate(savedInstanceState);

setContentView(R.layout.activity_main);

init();

}

private void init() {

PointF mStartPoint = new PointF(0, 0);

PointF mEndPoint = new PointF(0, 1200);

PointF mControlPoint = new PointF(500, 600);

List mPointList = new ArrayList<>();

for (int i = 0; i <= mPointNum; i++) {

mPointList.add(getBezierPoint(mStartPoint, mEndPoint, mControlPoint, i / mPointNum));

Log.d("Bezier", "X:" + mPointList.get(i).x + " Y:" + mPointList.get(i).y);

}

}

private PointF getBezierPoint(PointF start, PointF end, PointF control, float t) {

PointF bezierPoint = new PointF();

bezierPoint.x = (1 - t) * (1 - t) * start.x + 2 * t * (1 - t) * control.x + t * t * end.x;

bezierPoint.y = (1 - t) * (1 - t) * start.y + 2 * t * (1 - t) * control.y + t * t * end.y;

return bezierPoint;

}

}

如果需要更高阶，可以使用递归函数来运算

//用递归获取贝塞尔曲线点的x轴坐标

private float getBezierPointX(int n, int position, float t) {

if (n == 1) {

return (1 - t) * mPointList.get(position).x + t * mPointList.get(position + 1).x;

}

return (1 - t) * getBezierPointX(n - 1, position, t) + t * getBezierPointX(n - 1, position + 1, t);

}

//用递归获取贝塞尔曲线点的x轴坐标

private float getBezierPointX(int n, int position, float t) {

if (n == 1) {

return (1 - t) * mPointList.get(position).x + t * mPointList.get(position + 1).x;

}

return (1 - t) * getBezierPointX(n - 1, position, t) + t * getBezierPointX(n - 1, position + 1, t);

}

private ArrayList buildBezierPoints() {

ArrayList points = new ArrayList<>();

int order = mPointList.size() - 1;

float delta = 1.0f / POINT_NUM;

for (float t = 0; t <= 1; t += delta) {

// Bezier点集

points.add(new PointF(getBezierPointX(order, 0, t), getBezierPointY(order, 0, t)));

}

return points;

}

2. 绘制贝塞尔曲线

Android 中的Path类可以直接绘制一阶到三阶的贝塞尔曲线，在onDraw(Canvas canvas) 方法中使用:

绘制一阶贝塞尔曲线：

canvas.drawLine(start.x,start.y,end.x,end.y);

绘制二阶贝塞尔曲线：

mPath.moveTo(startPoint.x, startPoint.y);//起点

mPath.quadTo(controlPoint1.x, controlPoint1.y, endPoint.x, endPoint.y);

canvas.drawPath(mPath, mPaint);

绘制三阶贝塞尔曲线：

mPath.moveTo(startPoint.x, startPoint.y);//起点

mPath.cubicTo(controlPoint1.x, controlPoint1.y, controlPoint2.x, controlPoint2.y, endPoint.x, endPoint.y);

canvas.drawPath(mPath, mPaint);

绘制n阶贝塞尔曲线

n阶贝塞尔曲线绘制，需要结合递归函数，设定一条曲线由多少个点组成，通过循环获取每个点的坐标进行绘制。

7阶贝塞尔曲线

8阶贝塞尔曲线

3.Demo

贝塞尔曲线在android中最常用的是做出一些动画特效，如QQ消息数拖拽形变效果，一些炫酷的下拉刷新控件，阅读软件的翻书效果，一些平滑的折线图的制作，某图片的运动轨迹等……

3.1 形状变形

只需要知道变形前和变形后图形的数据点和控制点即可，通过改变数据点和控制点使得形状发生改变。

初始化

private float[] mData = new float[8]; // 顺时针记录绘制圆形的四个数据点

private float[] mCtrl = new float[16]; // 顺时针记录绘制圆形的八个控制点

private float mDuration = 1000; // 变化总时长

private float mCurrent = 0; // 当前已进行时长

private float mCount = 100; // 将时长总共划分多少份

private float mPiece = mDuration / mCount; // 每一份的时长

在onDraw(Canvas canvas)方法中绘制

path.reset();

path.moveTo(mData[0], mData[1]);

path.cubicTo(mCtrl[0], mCtrl[1], mCtrl[2], mCtrl[3], mData[2], mData[3]);

path.cubicTo(mCtrl[4], mCtrl[5], mCtrl[6], mCtrl[7], mData[4], mData[5]);

path.cubicTo(mCtrl[8], mCtrl[9], mCtrl[10], mCtrl[11], mData[6], mData[7]);

path.cubicTo(mCtrl[12], mCtrl[13], mCtrl[14], mCtrl[15], mData[0], mData[1]);

canvas.drawPath(path, mPaint);

mCurrent += mPiece;

if (mCurrent < mDuration) {

mData[1] -= 120 / mCount;

mCtrl[7] += 80 / mCount;

mCtrl[9] += 80 / mCount;

mCtrl[4] -= 20 / mCount;

mCtrl[10] += 20 / mCount;

postInvalidateDelayed((long) mPiece);

}

3.2 漂浮的爱心

爱心的漂浮轨迹就是一条三阶贝塞尔曲线，结合属性动画中的估值器进行设置。

首先定义一个属性动画的估值器

public class BezierEvaluator implements TypeEvaluator {

private PointF mControlP1;

private PointF mControlP2;

public BezierEvaluator(PointF controlP1, PointF controlP2) {

this.mControlP1 = controlP1;

this.mControlP2 = controlP2;

}

@Override

public PointF evaluate(float time, PointF start, PointF end) {

float timeLeft = 1.0f - time;

PointF point = new PointF();

point.x = timeLeft * timeLeft * timeLeft * (start.x) + 3 * timeLeft * timeLeft * time *

(mControlP1.x) + 3 * timeLeft * time *

time * (mControlP2.x) + time * time * time * (end.x);

point.y = timeLeft * timeLeft * timeLeft * (start.y) + 3 * timeLeft * timeLeft * time *

(mControlP1.y) + 3 * timeLeft * time *

time * (mControlP2.y) + time * time * time * (end.y);

return point;

}

}

之后自定义一个view可以生成爱心，添加透明度，缩放等动画和根据贝塞尔曲线改变其位置的属性动画。

初始化爱心图片和多个插值器等，到时随即选取

private void init() {

// 初始化显示的图片

drawables = new Drawable[3];

drawables[0] = getResources().getDrawable(R.drawable.red);

drawables[1] = getResources().getDrawable(R.drawable.yellow);

drawables[2] = getResources().getDrawable(R.drawable.green);

// 初始化插补器

mInterpolators = new Interpolator[4];

mInterpolators[0] = new LinearInterpolator();// 线性

mInterpolators[1] = new AccelerateInterpolator();// 加速

mInterpolators[2] = new DecelerateInterpolator();// 减速

mInterpolators[3] = new AccelerateDecelerateInterpolator();// 先加速后减速

// 底部 并且 水平居中

dWidth = drawables[0].getIntrinsicWidth();

dHeight = drawables[0].getIntrinsicHeight();

lp = new LayoutParams(dWidth, dHeight);

lp.addRule(CENTER_HORIZONTAL, TRUE);// 这里的TRUE 要注意 不是true

lp.addRule(ALIGN_PARENT_BOTTOM, TRUE);

}

入场动画

private AnimatorSet getEnterAnimator(final View target) {

ObjectAnimator alpha = ObjectAnimator.ofFloat(target, View.ALPHA, 0.2f, 1f);

ObjectAnimator scaleX = ObjectAnimator.ofFloat(target, View.SCALE_X, 0.2f, 1f);

ObjectAnimator scaleY = ObjectAnimator.ofFloat(target, View.SCALE_Y, 0.2f, 1f);

AnimatorSet enter = new AnimatorSet();

enter.setTarget(target);

enter.setInterpolator(new LinearInterpolator());

enter.setDuration(500).playTogether(alpha, scaleX, scaleY);

return enter;

}

贝塞尔曲线动画

private ValueAnimator getBezierValueAnimator(final View target) {

// 初始化贝塞尔估值器

BezierEvaluator evaluator = new BezierEvaluator(getPointF(2), getPointF(1));

// 起点在底部中心位置，终点在底部随机一个位置

ValueAnimator animator = ValueAnimator.ofObject(evaluator, new PointF((mWidth - dWidth) /

2, mHeight - dHeight), new PointF(random.nextInt(getWidth()), 0));

animator.setTarget(target);

animator.addUpdateListener(new ValueAnimator.AnimatorUpdateListener() {

@Override

public void onAnimationUpdate(ValueAnimator valueAnimator) {

// 这里获取到贝塞尔曲线计算出来的的x y值 赋值给view 这样就能让爱心随着曲线走啦

PointF pointF = (PointF) valueAnimator.getAnimatedValue();

target.setX(pointF.x);

target.setY(pointF.y);

// alpha动画

target.setAlpha(1 - valueAnimator.getAnimatedFraction());

}

});

animator.setDuration(3000);

return animator;

}

结合动画添加爱心

public void addHeart() {

final ImageView imageView = new ImageView(getContext());

// 随机选一个爱心

imageView.setImageDrawable(drawables[random.nextInt(3)]);

imageView.setLayoutParams(lp);

addView(imageView);

AnimatorSet finalSet = new AnimatorSet();

AnimatorSet enterAnimatorSet = getEnterAnimator(imageView);//入场动画

ValueAnimator bezierValueAnimator = getBezierValueAnimator(imageView);//贝塞尔曲线路径动画

finalSet.playSequentially(enterAnimatorSet, bezierValueAnimator);

finalSet.setInterpolator(mInterpolators[random.nextInt(4)]);

finalSet.setTarget(imageView);

finalSet.addListener(new AnimatorListenerAdapter() {

@Override

public void onAnimationEnd(Animator animation) {

super.onAnimationEnd(animation);

removeView((imageView));//删除爱心

}

});

finalSet.start();

}

3.3 贝塞尔曲线侧边索引条

以上就是本文的全部内容，希望对大家的学习有所帮助，也希望大家多多支持脚本之家。