18708 最大子段和

一个整数序列，选出其中连续且非空的一段使得这段和最大。
注意当题目要求输入输出的数据量很大时，尽量使用scanf和printf。 c++提供的cin和cout速度比较慢，有可能在读取数据和输出数据时导致超时。输入格式
第一行是一个正整数N，表示了序列的长度（0=<N<=200000）。
第二行包含N个绝对值不大于10000的整数ai。
输出格式
一个整数，为最大的子段和。子段的最小长度为1。数据确保结果在类型int范围内。
输入样例
7
2 -4 3 -1 2 -4 3
输出样例
4

知识点：最大子段和是一个经典的题目。有三大类作法，暴力枚举、前缀和+递推、动态规划。

（一）暴力枚举

既然是子段和，那么可以枚举子段的左右两个端点确定字段范围，计算子段和。复杂度O(n^3)

int main()
{int i,j,k,n,a[200005],maxs;cin>>n;for(i=1; i<=n; i++)cin>>a[i];maxs=a[1];for(i=1; i<=n; i++)/**< i和j为左右端点 */for(j=i; j<=n; j++){int sum=0;for(k=i; k<=j; k++)/**< 求子段[i,j]的和 */sum+=a[k];maxs=max(maxs,sum);}cout<<maxs;return 0;
}

（二）前缀和数组

前缀和数组是一种能快速求区间和（子段和）的数据结构，递归公式s[i]=s[i-1]+a[i]，它要求原始数据序列不能有任何改动。

用前缀和数组可以优化上面暴力枚举中求子段和的代码，此时复杂度O(n^2)。进一步可以想到，以X为右端点的最大子段和一定是s[X]- min(0,s[1],s[2]......s[X-1])，而min(0,s[1],s[2]......s[X-1])在处理时可以递推得到，无需再写循环语句。此时整个算法复杂度O(n)。

前缀和数组同样可以应用到更高维度，例如二维数组的前缀和递推公式s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1];同样的思想也能用于求二维的“最大子矩阵”。

int main()
{int i,j,k,n,a[200005],s[200005]= {0},maxs=0;cin>>n;for(i=1; i<=n; i++)cin>>a[i];for(i=1; i<=n; i++)/**< 构造前缀和数组，区间[L,R]的值可以用s[R]-S[L-1]快速得到 */s[i]=s[i-1]+a[i];maxs=a[1];int minv=0;/**< minv用于存储s[1...i-1]的最小值 */for(i=1; i<=n; i++){maxs=max(maxs,s[i]-minv);/**< 以i为右端点的最大字段和一定是s[i]-minv */minv=min(minv,s[i]);/**< 递推minv，为下一次i+1作准备 */}cout<<maxs;return 0;
}

（三）动态规划法

动态规划的思想是假定前 i-1 个数据答案已知时，第i个的答案一定可以通过前i-1个答案推导出来。在最大字段和问题上，以i为右端点的最大子段和只有两种可能：（1）只有a[i]；（2）以[i-1]为右端点的最大子段和+a[i]。可以思考下，不会有其他的可能性。

因为一次递推就可以解决问题（简言之每个数据只被使用一次），下述代码并没有构建数组来存储动态规划的中间结果。

int main()
{int i,j,k,n,a;int maxs,sum;cin>>n;cin>>maxs;/**< 先读一个数据，题目要求字段长度至少为1 */sum=maxs;for(i=2;i<=n;i++){scanf("%d",&a);/**< 对于第i个数字来说，或者和前面的数据一起求和，或者自立门户 */sum=sum<0?a:sum+a;/**< 前面的和大于等于0，连接效果好，不然还不如自立门户 */maxs=max(maxs,sum);}cout<<maxs;return 0;
}