C++：动态规划DP；
动态规划：将子问题的解记录下来，（记忆花搜索）
从顶到底和最大的路径
状态：dp[i][j]
- 走左边
- 走右边
状态转移方程：
从边界开始（底开始），往上走，第[i][j]的状态就是最大的加上它自己。
dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i + 1][j + 1]) + f[i][j]
//边界就是他自己
for (int j = 1; j <= N; j++)
{dp[N][j] = f[N][j];
}//从倒数第二层开始
for (int i = N - 1; i >= 1; i--)
{for (int j = 1; j <= i; j++) {dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i + 1][j + 1]) + f[i][j];}
}cout << dp[1][1];
6
-2 11 -4 13 -5 -2
连续最大子序列和：到A[i]的值最大
状态：dp[i]
- 自己就是最大
- 前面加上自己是最大
状态转移方程：
从第一个开始：第i个的状态就是(自己）或者自己加上前面的。
dp[i] = max(dp[i], dp[i - 1] + f[i]);
void dynamicd()
{memset(dp, 0, sizeof(dp));int maxdp = 0;for (int i = 0; i < N; i++){dp[i] = max(dp[i], dp[i - 1] + f[i]);if (dp[i] > maxdp)maxdp = dp[i];}cout << maxdp;
}
最长非递减子序列(可以不连续)（LIS)
状态：dp[i]：在i 之前由dp[i]个非递减的序列元素
- 递减
- 非递减（相等或递增）
状态转移方程：
循环第i个数之前的每个数，并且找到比第i个数小并且找到dp最大的那个数
dp[i]=max{1,dp[j]+1} (j=0,1,2…(i-1)&& a[j]<=a[i])
void dynamicd()
{memset(dp, 0, sizeof(dp));dp[0] = 1;int ans = 0;for (int i = 1; i < N; i++){dp[i] = 1;for (int j = 0; j < i; j++){if (f[j]<=f[i] && dp[j] + 1>dp[i]) {dp[i] = dp[j] + 1;}}ans = max(ans, dp[i]);}cout << ans;
}
只记录最长非递归
memset(dp, 0, sizeof(dp));
dp[0] = 1;
int tmax = f[0];
for (int i = 1; i < N; i++)
{dp[i] = dp[i - 1];if (f[i] >= tmax) {tmax = f[i];dp[i]++;}
}
for (int i = 0; i < N; i++)
{cout << dp[i] << " ";
}
8
1 2 3 -9 3 9 0 11
最长公共子序列(可以不连续)（LCommonS)
两个字符串
状态dp[i][j]：长度为i的A串和长度为j的B串的LCS长度
- A[i]=B[i]
- A[i]!=B[i]
状态转移方程：
相等那比较的字母同时往后移
不相等dp取前面最大的
dp[i][j]=dp[i-1][j-1] +1（A[I]==B[J])
dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])（A[I]!=B[J])
边界：dp[0][i]=dp[j][0]=0;(所以串从1开始读）
使用char[],头文件#include<cstring>不能使用gets()而应当使用gets_s(数组起始位置，数组长度)
初始化
[i][0]说明不与B数组比较那么应当为0，且数组读入应该从1开始
int dp[maxn][maxn];
char str1[maxn], str2[maxn];
int len1, len2;
void init()
{gets_s(str1 + 1, maxn - 1);gets_s(str2 + 1, maxn - 1);len1 = strlen(str1+1);len2 = strlen(str2+1);
}
先定义边界
int i = 0, j = 0;
dp[0][0] = 0;
//初始不与另一数组比较时 都为0
for (int i = 0; i <= len1; i++)
{dp[i][0] = 0;
}
for (int j = 0; j <= len2; j++)
{dp[0][j] = 0;
}
动态规划，得到每一点的公共子长度
for (int i = 1; i <=len1 ; i++)
{for (int j = 1; j <= len2; j++) {if (str1[i] == str2[j])dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1;else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);}
}for (int i = 0; i <= len1; i++)
{for (int j = 0; j <= len2; j++) {cout << dp[i][j] << " ";}cout << endl;
}
sadstory
adminsorry
最长回文子串
一个字符串s的最长回文子串
状态dp[i][j]表示s[i]至s[j]所表示的子串是否是回文子串（1是0非）
- s[i]==s[j]
- s[i]!=s[j]
状态转移方程：
如果s[i]==s[j]：如果i+1到j-1是回文串，则它也是回文串
如果s[i]!+s[j] 不可能是回文串：
d[i][j]=d[i+1][j-1]（s[i]==s[j])
dp[i][j]=0 （s[i]!=s[j])
边界：长度为1或者2的子串
dp[i][i]=1,dp[i][i+1]=(s[i]==s[i+1])?1:0
按照子串的长度和子串的初始位置进行枚举//先枚举长度在枚举左端点。
先定义边界；
memset(dp, 0, sizeof(dp));
//最长回文子串，初始为1，如果没有回文子串的话就是1
int ans=1;
for (int i = 0; i < str.size(); i++)
{dp[i][i] = 1;if (i<str.size()-1){if (str[i] == str[i + 1]) {dp[i][i + 1] = 1;ans = 2;}}
}
先枚举最长回文长度，再枚举其中左端点的同时得到右端点
for (int l = 3; l <= str.size(); l++)//枚举子串的长度
{for (int i = 0; i + l - 1 < str.size(); i++)//枚举子串的其实端点{int j = i + l - 1;//右端点if (str[i] == str[j] && dp[i + 1][j - 1] == 1) {dp[i][j] = 1;ans = l;//最长回文子串长度}}}
cout << ans;
DAG最长路（关键路径）
有向无环图中最大权值的路：用邻接矩阵的方式
dp[ii]:从i出发能获得的最长路径长度
choice：记录i点的后继结点
void init()
{cin >> str;memset(dp, 0, sizeof(dp));memset(choice, -1, sizeof(choice));
}int DP(int i)
{if (dp[i] > 0)return dp[i];for (int j = 0; j < N; j++){if (G[i][j] != INF) {int temp = max( dp[i],DP(j) + G[i][j] );if (temp > dp[i]) {dp[i] = temp;choice[i] = j;//i的后继是j}}}return dp[i];
}
dp[i]：点i到终点ed的最长距离
void init()
{cin >> str;
// memset(dp, 0, sizeof(dp));fill(dp, dp + maxn, -INF);memset(book, false, sizeof(book));memset(choice, -1, sizeof(choice));dp[ed] = 0;
}int DP(int i)
{if (book[i])return dp[i];book[i] = true;for (int j = 0; j < N; j++){if (G[i][j] != INF) {dp[i] = max( dp[i],DP(j) + G[i][j] );}}return dp[i];
}
输出路径
/*最大的dp[i]*/
void printPath(int i)
{printf("%d", i);while (choice[i]!=-1){i = choice[i];cout <<" "<< i<<" ";}
}
贪心动态规划分治
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